この問題では、1から7の数字を使って7桁の整数を作る際に、特定の条件を満たす並べ方を求めています。特に、2,4,6が隣り合わず、さらに2が先頭に来るという条件に基づいて、どのように組み合わせを計算するかを解説します。今回は、選んで並べる際に「5P3」ではなく「5C3」を使う理由や、4,6より後に2が並ぶことがないのかについても詳しく説明します。
問題の整理：条件を明確にする
まず、与えられた条件を整理しましょう。1から7の数字を使って、7桁の整数を作りますが、次の条件が加わります：
- 2,4,6は隣り合わない
- 2が先頭に来る
これを基にして、条件を満たす整数を作る方法を考えます。
ステップ1：1,3,5,7の並べ方
まず最初に、1,3,5,7の並べ方を考えます。この4つの数字は、2,4,6が入らない場所に配置される数字です。並べる方法は4つの数字を並べる順列の数です。これを計算すると、4! = 24通りとなります。
ステップ2：2,4,6の配置場所を選ぶ
次に、残りの2,4,6を配置する場所を選びます。2,4,6を配置する場所は、1,3,5,7が並んだ後の隙間に入ります。ここでは、5つの隙間（1,3,5,7の両端とその間）から、どの3つの隙間に2,4,6を配置するかを選びます。
ここで「5C3」を使う理由について詳しく見ていきましょう。5P3ではなく5C3を使うのは、2,4,6を並べる順番は後のステップで考えるからです。選ばれた3つの隙間に2,4,6がどの順番で並ぶかは、次のステップで決めます。
ステップ3：2,4,6の並べ方を考える
次に、選んだ3つの隙間に2,4,6を並べます。ここで、2,4,6は順番に並べる必要があります。つまり、2,4,6の並べ方は2! = 2通りです。
この部分が重要で、2が必ず先頭に来るという条件に合わせて並べることで、2,4,6の順番が固定されます。これにより、2,4,6の並び方が2通りであることが分かります。
全体の計算
最後に、これらをすべて掛け合わせます。4!（1,3,5,7の並べ方）× 5C3（2,4,6の配置場所の選び方）× 2!（2,4,6の並べ方）という計算になります。
計算結果は：
4! × 5C3 × 2! = 24 × 10 × 2 = 480通りとなります。
「5P3」ではなく「5C3」を使う理由
5P3と5C3の違いについて再確認します。5P3は順列で、順番を意識して3つを選ぶ方法です。一方で、5C3は組み合わせで、順番を考慮せずに3つを選ぶ方法です。この問題では、配置する場所を選んだ後に、2,4,6を並べるので、選ぶ場所の順番は重要ではなく、5C3を使います。
2が4,6より後に並ぶことはない理由
「4,6より後に2が並ぶことはないか？」という点ですが、問題の条件で「2が先頭に来る」と明言されています。したがって、2,4,6の並び方では2が常に最初に来るため、4や6が2の前に来ることはありません。
まとめ
この問題を解くためには、3つのステップで計算を進めました。1,3,5,7の並べ方（4!）、2,4,6を配置する場所の選び方（5C3）、2,4,6を並べる順番（2!）を掛け合わせることで、条件を満たす7桁の整数の数は480通りとなりました。
また、5P3ではなく5C3を使う理由は、並べる順番ではなく「配置する場所を選ぶ」段階であるためです。そして、2が必ず先頭に来るという条件により、2,4,6の並び順に制約があります。
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