「A² = 4 と A = ±2」と「√A² = √4 と A = 2」の間で生じる混乱について解説します。なぜ、同じような数式で結果が異なるのか、そして√A²を計算する際の注意点について理解しましょう。この違いは、数式における絶対値とルートの取り扱いに関係しています。
1. A² = 4 と A = ±2 の意味
まず、A² = 4 の場合、A の値は ±2 であることが分かります。これは、A の2乗が4になる数は、A = 2 と A = -2 であるという意味です。この式の解は、両方の値を満たすため、A = ±2 です。
2. √A² = √4 の計算
次に、√A² = √4 の式を考えます。この場合、右辺の√4は2になりますが、左辺の√A²は、Aの絶対値に等しくなります。つまり、√A² は |A|、すなわち A の絶対値です。このため、√A² の結果は常に正の値になります。
したがって、√A² = √4 となるとき、A の値は 2 であることが分かります。この式では、A が ±2 の場合でも、結果として A = 2 が得られます。
3. 絶対値とルートの違い
この問題のポイントは、√A² が実際には A の絶対値 |A| であることにあります。絶対値は常に非負（0以上）であるため、√A² の結果はAが正でも負でも常に正の値になります。
一方、A² = 4 の場合は、A が正でも負でも成立するので、A = ±2 という2つの解があります。しかし、√A² = √4 の場合、A の値が2であると強制されます。
4. ルートを付けるタイミングの違い
ルートをつけるタイミングが重要です。もし、A² = 4 の後にルートをつけるとき、必ず A = ±2 という2つの解が得られます。しかし、√A² という形式では絶対値を取ることになるので、A = 2 という1つの解だけが残ります。
5. 二重根号が必要な場合
質問で触れられている「二重根号」に関してですが、A² の後にルートを取る場合、特に二重根号が必要になるわけではありません。ただし、数式によっては意図的に二重根号を使う場合もありますが、今回の問題においてはそれは必要ありません。√A² は、常に A の絶対値を表します。
まとめ
この問題における重要なポイントは、√A² の計算結果が A の絶対値であるため、常に正の値になるという点です。したがって、√A² = √4 の場合、A の値は 2 であり、±2 は適用されません。A² = 4 の場合には A = ±2 という2つの解が得られるため、状況によって異なる結果が出ることを理解しておきましょう。
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