42種類のお菓子をコンプリートするために必要な箱の数：確率と式を使って解説

お菓子の箱に42種類が入っていて、それを全て揃えるために何箱必要か、という問題について解説します。確率を使った計算をわかりやすく説明しますので、ぜひ一緒に考えていきましょう！

問題の概要

問題は、1箱に3種類のお菓子が入っていて、その中で42種類のお菓子を全て集めるには何箱必要か、というものです。このような問題は「確率的な問題」としてよく出題されます。

確率を使って箱を何箱買えば42種類のお菓子を全て揃えることができるかを求めるために、いくつかの数学的な概念を使います。

この問題では、42種類のお菓子のうち1箱に3種類の異なるお菓子が含まれていると考えます。しかし、1箱に含まれるお菓子がどの種類かはランダムなので、箱を開けても同じ種類のお菓子が出ることもあります。

確率的に考えると、最初の箱を開けたときに3種類のお菓子が新しく揃いますが、その後、残りの種類を揃えるためにどれだけ箱を開ける必要があるかを計算する必要があります。

42種類のうち3種類を最初に揃えるためには、最初の1箱で3種類のうちのどれかが必ず揃います。しかし、次の箱ではすでに揃った種類のお菓子もあるため、残りの種類を揃える確率は次第に小さくなります。

このような問題を解くためには「期待値」という数学的な概念を使います。期待値とは、ある事象が起こる確率に対して、平均的に何回その事象が起こるかを予測するための数値です。ここでは、箱を開ける回数（箱の数）を求めるために、この期待値を使います。

42種類のお菓子を全て揃えるための箱の数を計算するには、以下の式を使います。

期待値 = 42 × (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … + 1/42)

この式は、各種類を揃えるために平均的に必要な箱の数を示しています。具体的には、最初の種類を揃えるのに1箱、次の種類を揃えるのに2箱、そしてその後も同様に増えていきます。

この計算を実行すると、42種類のお菓子を全て集めるためには、約【期待値の計算結果】箱が必要となります。これを実際に計算するには、1/1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/42 の和を計算する必要があります。

この計算結果から、箱の数がだいたい何箱必要かがわかります。計算すると、42種類をコンプリートするためには、約【計算結果】箱の購入が必要です。

この問題では、42種類のお菓子をコンプリートするためには、おおよそ【計算結果】箱を買う必要があることがわかりました。確率的に考えると、最初に購入した箱で一度に3種類揃いますが、その後はどんどん揃える確率が小さくなるため、箱を開ける回数は多くなります。

このように確率を使って、ランダムに物を揃える問題を解くことができます。計算に慣れることで、他の似たような問題にも挑戦できるようになります。