この問題では、関数 f(x) が定義されている区間において、y = f(f(x)) のグラフを描く方法について解説します。まず、f(x) の意味を理解し、f(f(x)) をどう計算するのかを見ていきます。
1. 関数 f(x) の定義と意味
関数 f(x) は次のように定義されています。
- f(x) = 2x （０≦ｘ＜２）
- f(x) = 8 – 2x （２≦ｘ≦４）
この関数は、x の値によって異なる式が適用されるため、区間ごとに異なる振る舞いをします。
2. f(f(x)) の計算方法
次に、y = f(f(x)) を計算する方法を考えます。これは「関数 f を二重に適用する」ことを意味しています。つまり、f(x) を計算してその結果を再度 f に入力することになります。
例えば、x = 1 のとき、f(1) = 2 です。次に、f(f(1)) = f(2) を計算します。x = 2 のとき、f(2) = 8 – 2×2 = 4 なので、f(f(1)) = 4 となります。
3. グラフを描くための手順
y = f(f(x)) のグラフを描くためには、まず関数 f(x) の値を計算し、その後にその値を再度 f(x) に代入して y の値を求めます。以下のように区間ごとに計算を行います。
- x = 0 のとき、f(0) = 2×0 = 0 です。次に、f(f(0)) = f(0) = 0 です。
- x = 1 のとき、f(1) = 2×1 = 2 です。次に、f(f(1)) = f(2) = 4 です。
- x = 2 のとき、f(2) = 8 – 2×2 = 4 です。次に、f(f(2)) = f(4) = 8 – 2×4 = 0 です。
- x = 3 のとき、f(3) = 8 – 2×3 = 2 です。次に、f(f(3)) = f(2) = 4 です。
- x = 4 のとき、f(4) = 8 – 2×4 = 0 です。次に、f(f(4)) = f(0) = 0 です。
4. グラフの描画
得られた点をプロットし、y = f(f(x)) のグラフを描くことができます。x の値が 0 から 4 の範囲で、y の値が次のように変化します。
- x = 0 のとき、y = 0
- x = 1 のとき、y = 4
- x = 2 のとき、y = 0
- x = 3 のとき、y = 4
- x = 4 のとき、y = 0
このように、グラフは y = 0 の点を通り、y = 4 に振動する形になります。
5. 結論
y = f(f(x)) のグラフを描くには、関数 f(x) を二重に適用し、各区間ごとに y の値を計算してプロットすることで、正しいグラフを得ることができます。
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