高校数学の確率問題：陸上記録の上位3名が同じクラスになる確率の計算方法

高校数学の確率問題でよく出題される内容の一つに、特定の条件を満たす確率を求める問題があります。今回は、ある中学校で女子180名が8クラスに分けられたとき、陸上50メートルの記録で上位3名が同じクラスになる確率を求める問題を解説します。この記事では、問題の解法をわかりやすく説明します。

問題の整理

まずは問題を整理します。女子180名が8クラスに分けられる中で、陸上50メートルの記録の上位3名が同じクラスになる確率を求めるというものです。ここで重要なのは、上位3名の女子が同じクラスになるという条件です。

問題を解くためには、確率を求めるためにまずその「分母」と「分子」を考える必要があります。全体の女子180名が8クラスに分けられる場合、上位3名が同じクラスに入る場合とそれ以外のケースを分けて計算します。

確率を求めるためには、まず「全体の場合」と「望ましい場合」を考えます。

女子180名を8クラスに分ける場合、最初に考えるべきは、上位3名の女子がどのクラスに分けられるかです。最初に、上位3名がどのクラスに入るかを決めます。その後、残りの177名を適当にクラスに割り振ることになります。

したがって、全体のクラス分けの方法は、まず上位3名を任意のクラスに入れる方法を考え、その後残りの177名を各クラスに分ける方法を考えます。

望ましい場合、上位3名が同じクラスに入るための方法を考えます。最初に上位3名を1つのクラスにまとめ、そのクラスに残りの177名を分けていきます。ここで大事なのは、上位3名が同じクラスに入るという条件です。

全体の場合のクラス分けの方法は、最初に上位3名を選んでその後177名を適当に分ける方法です。この時点で、女子180名を8クラスに分ける組み合わせ数は、

C(180,3) × C(177,177) となります。これが全体の分母にあたります。

望ましい場合は、上位3名が1つのクラスに入る方法を計算します。この場合、上位3名が同じクラスに入る方法は、

C(3,3) × C(177,177) となり、これが分子になります。

確率は、望ましい場合の数を全体の場合の数で割ったものになります。したがって、確率は以下の式で表されます。

確率 = (望ましい場合の数) / (全体の場合の数)

具体的な数値を入れて計算すると、確率が求められます。この方法で計算することで、上位3名が同じクラスになる確率を求めることができます。

今回の問題では、女子180名が8クラスに分けられたとき、陸上50メートルの記録の上位3名が同じクラスに入る確率を求めました。確率を求める際には、全体の場合と望ましい場合の数をしっかりと整理し、計算式を導き出すことが重要です。入試や問題演習の際に役立つ確率の考え方をしっかりと身につけていきましょう。