微分方程式の解法：x' + x = t sin(t), x(0) = 1 の解き方

この問題では、微分方程式 x’ + x = t sin(t), 初期条件 x(0) = 1 の解法について説明します。これは常微分方程式（ODE）の一例で、まず解法のアプローチを理解することが重要です。

1. 微分方程式の形を確認

与えられた微分方程式は、1階線形常微分方程式の標準形に該当します。式は x’ + x = t sin(t) であり、x’ は x の導関数を表します。この形式の方程式は線形であるため、適切な方法で解くことができます。

まず、同次方程式 x’ + x = 0 を解きます。この方程式の解は、積分を使って求めることができます。

解法は次のようになります。

1. x’ + x = 0 を解くと、解は x(t) = C * e^(-t) となります。ここで C は定数です。

次に、非同次方程式 x’ + x = t sin(t) の特解を求めます。特解は、非同次項に対応する解を見つけるために、適当な形の解を仮定して求めます。

特解は、仮定法（例えば、特定の形の関数を仮定する）を用いて求めます。この場合、t sin(t) に対する特解は、t sin(t) の形を持つ解を仮定して積分する方法です。

同次方程式の解と特解を組み合わせることで、元の微分方程式の総合的な解を得ることができます。最終的な解は、次のように表されます。

x(t) = C * e^(-t) + 特解

ここで C は初期条件 x(0) = 1 を使って求める定数です。

初期条件 x(0) = 1 を用いて、C の値を求めます。x(0) = 1 から、解 x(t) に t = 0 を代入して C の値を決定します。

計算を進めると、最終的な解が得られます。

微分方程式 x’ + x = t sin(t), 初期条件 x(0) = 1 を解くためのステップを紹介しました。解法は、まず同次方程式を解き、次に特解を求め、最終的に初期条件を用いて定数を決定するという手順です。この方法で、微分方程式を解くことができます。