√(1-x^2)の積分方法：詳細なステップガイド

√(1-x^2)の積分は、基本的な積分手法を活用し、三角関数を使用することで解けます。この積分問題は、主に三角置換を用いることで簡単に解くことができます。以下に、この積分の解法ステップをわかりやすく解説します。

積分問題の設定

積分の式は、次のように与えられています。

∫ √(1-x^2) dx

この式を解くためには、三角関数の置換を行うことが効果的です。

三角関数を使った置換では、xをsinθに置き換えます。この方法により、積分式が簡単に扱いやすい形に変換されます。

具体的には、次のように置換します。

x = sinθ

この置換により、dx = cosθ dθとなり、積分式は次のように変わります。

∫ √(1-sin²θ) cosθ dθ

ここで、1-sin²θ = cos²θという三角恒等式を使います。

そのため、積分式は次のように簡略化されます。

∫ cos²θ dθ

cos²θを積分するために、次の三角恒等式を使います。

cos²θ = (1 + cos(2θ)) / 2

これにより、積分は次のように変形されます。

∫ (1 + cos(2θ)) / 2 dθ

この積分は簡単に解け、結果は次のようになります。

θ / 2 + (sin(2θ)) / 4 + C

最後に、三角置換を逆にして元の変数xに戻します。

x = sinθなので、θ = arcsin(x)です。

また、sin(2θ) = 2sinθcosθなので、この式に戻すと最終的な解答が得られます。

arcsin(x) / 2 + (x√(1-x²)) / 4 + C

√(1-x^2)の積分は、三角置換を使うことで解くことができます。基本的には、x = sinθに置換して、積分を行い、最後に逆に戻して解答を得る方法です。この積分を理解することで、他の類似した問題にも対応できるようになります。