受験中学算数の問題解法 | 濃度計算と最小整数の求め方

受験の中学算数における問題解法をわかりやすく解説します。今回は、食塩水の濃度計算と、特定の条件を満たす最小の整数を求める問題です。それぞれの問題の解法のポイントを押さえ、ステップバイステップで説明します。

問題1: 食塩水の濃度の計算

まず最初の問題は、濃度4.5%の食塩水300gから50gの水を蒸発させたとき、残った食塩水の濃度を求める問題です。以下に解法を示します。

1. 初めに、食塩水300gに含まれる食塩の量を求めます。4.5%の食塩水ですので、食塩の量は次のように計算できます。

食塩の量 = 300g × 4.5% = 300g × 0.045 = 13.5g

2. その後、水50gが蒸発したため、残る食塩水の質量は300g – 50g = 250gです。食塩の量は変わらず13.5gのままです。

3. 残った食塩水250gにおける食塩の割合（濃度）を求めます。

新しい濃度 = (13.5g ÷ 250g) × 100% = 5.4%

次の問題は、ある整数が6で割ると4余り、7で割ると1余るとき、その最小の整数を求める問題です。これには中国の剰余定理を使う方法が有効です。

1. 「6で割ると4余る」という条件を数式に表すと、次のようになります。

x ≡ 4 (mod 6)

2. 「7で割ると1余る」という条件は、次のように表せます。

x ≡ 1 (mod 7)

3. 最初に、x = 6k + 4という形でxを表します。これを2番目の式に代入していきます。

6k + 4 ≡ 1 (mod 7)

4. これを解くとk = 3が得られます。

5. 最後にxの最小値を求めると、x = 6(3) + 4 = 22となります。

以上のように、食塩水の濃度の問題と、整数の剰余に関する問題を解く際の基本的な解法を紹介しました。濃度の計算は比例の考え方を使い、整数の問題は剰余定理を使うことで効率的に解くことができます。これらの問題に慣れることで、受験対策をより効果的に進めることができます。