関数y=x³-x+1と直線y=ax+2が異なる3点で交わる条件を求める問題では、グラフの交点を求めるために連立方程式を用いた解析が必要です。本記事では、この問題の解き方をステップごとに解説し、定数aの値の範囲を求める方法について説明します。
問題の設定と基本的なアプローチ
まず、与えられた関数y=x³-x+1と直線y=ax+2が異なる3点で交わるための条件を考えます。交点が存在するためには、y=x³-x+1とy=ax+2が同じ値になるxの値が3つ必要です。これを満たすためには、次の式を解く必要があります。
x³ – x + 1 = ax + 2
連立方程式の変形
この式を解くために、まず右辺のax+2を左辺に移項して整理します。
x³ – x – ax + 1 – 2 = 0
次に、式を簡単化すると以下のようになります。
x³ – (a+1)x – 1 = 0
3つの実数解を持つための条件
この方程式が異なる3つの実数解を持つためには、関数x³ – (a+1)x – 1 = 0のグラフがx軸と3回交わる必要があります。3回交わるためには、関数の微分を使って、極値を求め、極値の間にx軸と交わることを確認することが必要です。
微分して、関数の傾きがゼロになる点を求めます。
f'(x) = 3x² – (a+1)
f'(x)=0のとき、x² = (a+1)/3となります。この式から、aの範囲を求めることができます。
aの範囲の求め方
関数が3つの異なる実数解を持つためには、x³ – (a+1)x – 1 = 0のグラフがx軸と3回交わる必要があります。したがって、aの値がある範囲で、3つの実数解を持つような条件を求めることが重要です。この範囲を求めるためには、数値計算やグラフを用いて、aの値がどの範囲で解が3つになるかを確認する方法が有効です。
まとめ
関数y=x³-x+1と直線y=ax+2が異なる3点で交わるためには、連立方程式x³ – (a+1)x – 1 = 0が3つの異なる実数解を持つことが必要です。aの値を調整することで、解が3つになる範囲を求めることができます。この問題を解くためには、微分を用いて極値を求め、数値的に解を確認することが重要です。
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