この問題では、1, 2, 5, 10, 17, …という数列が与えられています。この数列の規則性を見つけて、nを用いた一般項の式を求めることが求められています。中学生でも分かりやすく解説しますので、安心して進んでいきましょう！
数列の差を調べる
まず、数列を並べてみましょう。
1, 2, 5, 10, 17, …
次に、隣り合う数同士の差を計算してみます。
- 2 – 1 = 1
- 5 – 2 = 3
- 10 – 5 = 5
- 17 – 10 = 7
このように、隣り合う数同士の差は1, 3, 5, 7, …となり、これが等差数列であることが分かります。
2回目の差を調べる
次に、差の差を調べてみます。1, 3, 5, 7,…という数列の差を取ります。
- 3 – 1 = 2
- 5 – 3 = 2
- 7 – 5 = 2
このように、2回目の差が常に2となっているため、この数列は2次関数で表されることが分かります。
2次関数の式を求める
数列が2次関数で表されることが分かったので、一般的な2次関数の形を考えます。
数列の一般項は、次のような式で表されます。
a_n = An^2 + Bn + C
ここで、A、B、Cは定数で、nは項番号です。この式を使って、数列の各項に対応する値を求め、A、B、Cを求めることができます。
まず、n=1、n=2、n=3のときの式を立ててみましょう。
- a_1 = A(1)^2 + B(1) + C = 1
- a_2 = A(2)^2 + B(2) + C = 2
- a_3 = A(3)^2 + B(3) + C = 5
この式を解くと、A = 1, B = 0, C = 0 となります。
一般項の式
したがって、与えられた数列の一般項は、次のように求められます。
a_n = n^2
まとめ
「1, 2, 5, 10, 17, …」という数列の一般項は、a_n = n^2であることが分かりました。この方法では、数列の差の規則性を調べ、その後、2次関数の形を使って式を導きました。数学では、数列の規則性を見つけることが重要です。これを元に他の数列の問題にも取り組んでみましょう！
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