Modを使った指数の場合分け：3のk乗+1が5の倍数のときの解法

整数論の問題で、Modを使った場合分けを行う方法について考えることはよくあります。特に、指数に関する問題で「Mod」を使って場合分けをする方法に悩むこともあるでしょう。この記事では、具体的な例を用いて、Modを使って指数の値に関する場合分けを行う方法を解説します。

1. Modの基本的な使い方

Mod（剰余）は、整数が他の整数で割ったときの余りを求める演算です。たとえば、a ≡ b (mod n)は、「aをnで割った余りがbである」と読みます。数学的に言うと、a – bがnの倍数であることを意味します。Modは、整数論や合同式を解く上で非常に便利な道具です。

Modの特徴を利用して、例えば、指数に関する計算を簡単に処理することができます。特に、Modを使って複雑な式を簡略化したり、場合分けをして解く方法はよく用いられます。

質問にある「3のk乗+1が5の倍数のときを求める」という問題を考えます。この問題を解くためには、Modを使って3^k + 1 ≡ 0 (mod 5) を解くことが目標です。

式を整理すると、次のようになります。

3^k ≡ -1 (mod 5)

ここで重要なのは、3^kがどのようなパターンで変化するかを調べることです。3^kを5で割った余りを求めると、kの値によって繰り返しのパターンが現れます。

kの値を0, 1, 2, 3, 4で場合分けして、3^kの余りがどう変化するかを求めてみましょう。

k ≡ 0 (mod 5) のとき、3^0 ≡ 1 (mod 5)
k ≡ 1 (mod 5) のとき、3^1 ≡ 3 (mod 5)
k ≡ 2 (mod 5) のとき、3^2 ≡ 4 (mod 5)
k ≡ 3 (mod 5) のとき、3^3 ≡ 2 (mod 5)
k ≡ 4 (mod 5) のとき、3^4 ≡ 1 (mod 5)

これで、3^kが5で割った余りの周期性が分かりました。これを元に、次のように考えることができます。

3^k ≡ -1 (mod 5) になるkは、k ≡ 2 (mod 5) のときです。なぜなら、3^2 ≡ 4 ≡ -1 (mod 5) だからです。

したがって、3のk乗+1が5の倍数となるkの値は、k ≡ 2 (mod 5) のときです。このように、Modを使った場合分けを行うことで、指数の問題を効率的に解くことができます。

この方法を使えば、複雑な指数の計算を簡単に扱うことができるため、整数論における問題解決に役立ちます。また、Modの周期性を活用することで、問題をよりシンプルに解けるようになります。

指数に関する問題では、Modを使って余りのパターンを調べ、場合分けをすることで効率的に解法を見つけることができます。今回の問題のように、kの値に対してModで繰り返しを求めることで、解くべき範囲を絞ることができ、迅速に解を導くことが可能です。

数学的な問題解決において、Modの使い方をマスターすると、より高度な整数論の問題にも対応できるようになるため、ぜひ活用していきましょう。