確率問題の解説：サイコロを使った玉の入れ替え問題

この問題は、3つの箱の中で赤玉と白玉をサイコロを使って入れ替える課題です。サイコロの出目によって箱の玉を入れ替え、最終的に1番の箱に赤玉がある確率を求める問題です。今回は、この問題の背後にある理論とその計算方法について解説します。

問題の設定

最初に、3つの箱があり、3番の箱に赤玉が1個、1番と2番の箱にはそれぞれ白玉が1個ずつ入っています。サイコロを2つ投げ、その出目に応じて玉を入れ替えます。サイコロの面には「1」「1」「2」「2」「3」「3」が記載されており、同じ数が出た場合には玉は入れ替えません。

サイコロの出目に応じて玉の入れ替えが行われるため、箱の状態はサイコロの目の組み合わせによって変化します。この問題の鍵となるのは、玉の入れ替えが確率的にどのように行われるかを理解することです。特に、最終的に1番の箱に赤玉が入る確率を求めるには、玉の移動のパターンをすべて考慮する必要があります。

サイコロの出目により、1番の箱、2番の箱、3番の箱にそれぞれ玉を入れ替える条件が変わります。例えば、「1」と「2」が出れば、1番と2番の箱の玉が入れ替わり、「2」と「3」が出れば、2番と3番の箱の玉が入れ替わる、といった具合です。これを繰り返すことで、赤玉が最終的に1番の箱に入る確率が変動します。

確率を計算するためには、玉の入れ替えのパターンを確率的に考え、最終的な状態を求める必要があります。サイコロをn回投げた後の1番の箱に赤玉がある確率は、すべての入れ替えパターンのうち、1番の箱に赤玉が入るものの確率を計算することで得られます。

この問題では、サイコロの出目による玉の入れ替えを確率的に求める必要があります。最終的に1番の箱に赤玉が入る確率を計算するためには、すべての可能な入れ替えパターンを考慮することが重要です。確率の理論を適用することで、問題の解決に近づけることができます。