数学の問題：関数のグラフがx軸と異なる2点で交わる条件でaの範囲を求める

質問：「関数y = ax^2 + (a + 1)x + 3(a – 6) のグラフがx軸と異なる2点で交わり、交点のx座標の一方が正、他方が負であるとき、aの取り得る範囲を求めよ」という問題について解説します。

問題を整理しよう

与えられた関数は二次関数です。この関数がx軸と異なる2点で交わるためには、関数の判別式（Δ）が正である必要があります。

二次方程式の判別式は、一般的に次の式で求められます。

Δ = b^2 – 4ac

関数y = ax^2 + (a + 1)x + 3(a – 6) において、a = a, b = a + 1, c = 3(a – 6) です。したがって、判別式Δを計算すると次のようになります。

Δ = (a + 1)^2 – 4 × a × 3(a – 6)

Δが正であるためには、この式が0より大きい必要があります。これを解くと、aの範囲が求められます。

問題では、交点のx座標の一方が正、他方が負であるという条件があります。したがって、x軸と交わる点のx座標の符号が異なるため、さらにこの条件を考慮してaの範囲を絞り込みます。

この問題は、判別式を用いてaの範囲を求める問題です。また、交点の位置関係をもとにaの範囲を絞り込む必要があります。具体的な計算を行うことで、aの範囲が求められます。