数学Ⅲの定積分である∫(0~1) dx/(1+x²)の解き方を解説します。この積分は、微積分の基礎的な部分であり、定積分を使って計算する方法を学ぶのに適しています。
定積分の基本
定積分は、関数のグラフの下に囲まれた面積を求める方法です。問題では、積分範囲が0から1の間で、積分対象の関数は1/(1+x²)です。これを解くためには、積分の公式を利用します。
この積分は、逆三角関数の積分公式に基づいて解くことができます。
積分公式の確認
1/(1+x²)の積分は、よく知られた逆三角関数の公式を使用します。
∫ dx/(1+x²) = arctan(x) + C
ここで、arctan(x)はxの逆タンジェントを意味します。この公式を使って、問題を解いていきます。
積分の計算
問題の積分∫(0~1) dx/(1+x²)において、逆三角関数の公式を使うと、次のように計算できます。
∫(0~1) dx/(1+x²) = arctan(x) | (0~1)
この式は、積分の上限と下限におけるarctan(x)の値を計算するという意味です。
計算結果の求め方
次に、上限1と下限0を代入して計算します。
arctan(1) – arctan(0)
arctan(1)はπ/4、arctan(0)は0なので、最終的な結果は。
π/4 – 0 = π/4
答え
したがって、∫(0~1) dx/(1+x²)の定積分の答えはπ/4となります。
まとめ
定積分∫(0~1) dx/(1+x²)を解くには、逆三角関数の積分公式を使うことがポイントです。この公式を使用して、arctan(x)の計算を行い、最終的に答えはπ/4となります。積分の基本を理解し、この公式を応用することで、さまざまな問題を解けるようになります。
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