三角関数の最大値・最小値を求める問題では、関数の形をよく理解し、適切な微分を用いて解く方法が基本です。今回は、f(x) = 2sin(2x) + 3cos²(x) + 4sin(x) − 2cos(x) の最大値と最小値を求める問題を解説します。関数の範囲は 0 ≦ x ≦ π と指定されています。
関数の変形と微分の準備
まず、関数を整理します。f(x) = 2sin(2x) + 3cos²(x) + 4sin(x) − 2cos(x) と与えられていますが、これを扱いやすい形に変形するために、それぞれの項をよく見ていきます。
cos²(x) の項を扱うために、三角関数の恒等式を利用して、場合によっては合成関数の微分法を使うことを考慮します。
微分して極値を求める
次に、f(x) を微分して、関数の増減を調べます。f'(x) を求めることで、極値が発生するxの値を導きます。微分の結果、f'(x) = 4cos(2x) − 3sin(2x) + 4cos(x) + 2sin(x) となります。
微分した結果が 0 になる点を求めることで、関数の最大値や最小値が発生する場所を特定します。
境界値での評価
次に、x = 0 および x = π の境界値で関数の値を評価します。境界値では関数の値が極大または極小の可能性がありますので、これらを計算しておきます。
f(0) と f(π) を計算し、それぞれの値と、先に求めた極値を比較して最大値・最小値を特定します。
最終的な結果と解答
計算結果から、f(x) の最大値と最小値を求めることができます。このようにして、三角関数を微分し、境界値を評価することで、関数の最大値と最小値を確定することができます。
まとめ
三角関数の最大値・最小値を求めるためには、関数を微分し、極値を求めることが基本です。また、境界値での評価も重要です。この問題では、f(x) = 2sin(2x) + 3cos²(x) + 4sin(x) − 2cos(x) において、微分を適切に使い、最終的に最大値と最小値を求めることができました。
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