y=cos(θ/2)の周期がなぜ4πになるのか？その理由と解説

数学において、三角関数の周期性は非常に重要な概念です。特に、y = cos(θ/2)のような関数では、周期の計算が少し複雑になることがあります。この疑問について、なぜy = cos(θ/2)の周期が4πになるのかを、ステップバイステップで解説します。

三角関数の基本的な周期性

三角関数の周期性とは、関数が同じ値を繰り返す間隔のことです。通常、cos(θ)の周期は2πです。これは、θが2π増加するごとに、cos(θ)が同じ値に戻ることを意味します。しかし、式が変化すると、この周期も変わることがあります。

y = cos(θ)の場合、θの値が2π進むと、yの値も同じになります。これは、cos関数が2πごとに繰り返すからです。

y = cos(θ/2)の場合、θの代わりにθ/2が関数に入っています。これが意味するのは、θが2π進んだときに、y = cos(θ/2)が一周するのではなく、θが4π進むことでyが一周することです。

具体的には、y = cos(θ/2)が同じ値を繰り返すためには、θ/2が2π進む必要があります。これにより、θは4π進む必要があり、y = cos(θ/2)の周期は4πとなります。

周期Tは、関数が同じ値を繰り返すθの変化量です。通常、cos関数の周期は2πですが、y = cos(θ/2)の場合は、θ/2が2π進むため、周期Tは次のように求められます。

T = 2π × 2 = 4π

したがって、y = cos(θ/2)の周期は4πとなります。

y = cos(θ/2)の周期が4πになる理由は、θが4π進むと、θ/2が2π進むことにより、yが再び同じ値を繰り返すからです。三角関数の周期性は、関数に含まれる角度の係数によって決まり、θ/2という形になると、周期が2倍に伸びて4πになります。これにより、関数の周期を理解しやすくなります。