このページでは、数Iの問題について、与えられた関数の定義域の端点で値が一致する条件を使って定数aを求める方法と、関数の最大値を求める方法について解説します。
問題の整理と解法
与えられた関数は次の通りです。
- y = x² – 4x + 1 (0 ≦ x ≦ a)
この関数において、定義域の両端x = 0, x = aにおけるyの値が一致するときの定数aの値を求める問題と、関数の最大値を求める問題です。
（1）定義域の両端x = 0, x = aにおけるyの値が一致する条件
まず、x = 0とx = aにおけるyの値が一致する条件を考えます。関数にx = 0を代入して、yの値を求めましょう。
- y(0) = 0² – 4(0) + 1 = 1
次に、x = aにおけるyの値を求めます。
- y(a) = a² – 4a + 1
このy(0) = y(a)が成り立つためには、1 = a² – 4a + 1が成立しなければなりません。両辺から1を引くと。
- 0 = a² – 4a
この方程式を解くと、a(a – 4) = 0 となります。したがって、a = 0またはa = 4が解となります。しかし、0 ≦ x ≦ a の範囲内でa = 0は意味がないので、a = 4が答えとなります。
（2）関数の最大値の求め方
次に、y = x² – 4x + 1 の最大値を求めます。まず、この関数は二次関数であり、上に凸の放物線ですので、最大値は定義域の端点で取ることがわかります。
まず、端点x = 0でのyの値を求めましょう。
- y(0) = 0² – 4(0) + 1 = 1
次に、x = 4でのyの値を求めます。
- y(4) = 4² – 4(4) + 1 = 16 – 16 + 1 = 1
したがって、関数の最大値は1で、定義域[0, 4]での最大値は1です。
まとめ
この問題では、まず関数の定義域の端点でyの値が一致する条件から定数aを求め、次に二次関数の最大値を求めました。定義域の両端でのyの値が一致するという条件をうまく利用することで、a = 4が求まります。また、関数の最大値はx = 0またはx = 4の端点で求められます。
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