数学の問題で定義域を明確にすることは重要です。特に、導関数を求める際、定義域の取り扱い方に悩むことがあるかもしれません。この記事では、指定された問題に対する解答方法と定義域の考慮について解説します。
問題の整理と解法
問題は以下の式で与えられています。
- x = sin(t)
- y = (1 + cos(t))sin(t)
まず、この2つの式を使ってdy/dxを求めるためには、パラメトリック方程式の導関数を求める手法を使います。
dy/dxの求め方
dy/dxを求めるためには、dy/dtとdx/dtをそれぞれ求め、dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) の式を使います。
まず、xとyの微分をそれぞれ計算します。
- dx/dt = cos(t)
- dy/dt = sin(t) + (1 + cos(t))cos(t)
したがって、dy/dx = (sin(t) + (1 + cos(t))cos(t)) / cos(t) という式になります。
定義域についての考慮
質問の中で述べられたように、定義域の問題が気になる点だと思われます。問題の定義域はtが0からπの間です。しかし、t = π/2 で、cos(t) = 0 となり、dy/dxの式で0で割ることになり、これが問題になる可能性があります。
そのため、実際の解答を書く際には、t ≠ π/2 と記載することで、この特異点を避けることができます。これにより、0で割ることを防ぎ、計算を正確に進めることができます。
解答の書き方
解答を書く際には、問題の定義域についてしっかり触れ、次のように書くと良いでしょう。
- 「t ∈ [0, π] ただし t ≠ π/2 のとき、dy/dx は以下のように求められます。」
- その後、dy/dx の計算式を示し、最後に「t = π/2 では微分が定義されません」という注意書きを添えることが適切です。
まとめ
このような問題では、定義域をきちんと明記することが重要です。特に、0で割るなどの特異点がある場合は、その点について説明を加えることで、解答に対する理解が深まります。また、解答用紙に書く際は、数学的な厳密さを保ちながらも、わかりやすく整理された形式で解答を記載しましょう。
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