円の方程式と直線の共有点：接する場合と交差する場合の区別

円の方程式と直線が交わる場合、解の条件や答え方は重要です。特に、「接する場合」と「交差する場合」で答え方が異なるため、問題を解く際にその違いをしっかり理解しておくことが大切です。この記事では、円の方程式と直線の共有点についての問題の解き方を、接する場合と交差する場合の違いを解説します。

円と直線の方程式

円の方程式は一般的にx² + y² = r²の形をしています。一方、直線の方程式はy = mx + bの形になります。これらの方程式が交わる点を求めるためには、直線の式を円の方程式に代入して解く必要があります。このとき、得られる解が1つの点の場合、直線は円に接している（接する）ことを意味します。

接する場合と交差する場合の区別

円と直線が交わる場合、解の個数によって「接する」か「交差する」かが決まります。

• 接する場合：直線と円が1点で交わる場合、解は1つであり、この場合の条件は「ディスクリミナントが0」のときです。ディスクリミナントは、2次方程式の判別式で、0になると解が1つ、つまり直線が円に接しています。
• 交差する場合：直線と円が2点で交わる場合、解は2つであり、この場合の条件は「ディスクリミナントが正」のときです。これにより、直線が円を2点で交差することが分かります。

具体的な例とその解法

例として、円x² + y² = 1と直線y = x + mが共有点を持つ場合を考えます。この問題を解くために、まず直線の方程式y = x + mを円の方程式に代入します。すると、x² + (x + m)² = 1という式が得られます。この式を展開し、2次方程式に変形します。

次に、この2次方程式のディスクリミナントを求め、0または正の値かを確認します。ディスクリミナントが0の場合は「接する」、正の場合は「交差する」という判断ができます。

mの範囲を求める

ディスクリミナントが0である条件を求めると、mの範囲が決まります。例えば、-2 ≤ m ≤ 2という範囲を得る場合もあります。これにより、直線と円が接する場合のmの範囲が求められることになります。

まとめ

円と直線の共有点を求める問題では、接する場合と交差する場合を区別するためにディスクリミナントを使うことが重要です。接する場合は解が1つ、交差する場合は解が2つであり、その判断基準を理解することで問題をスムーズに解けるようになります。ディスクリミナントをしっかりと使いこなすことで、円と直線の関係を正確に把握することができます。