高校数学: 複素数の絶対値が0に近くなるtの値の求め方

複素数に関する問題で、| 12(-1+t)+(1+4t)i | が0に近くなるようなtの値を求める方法について解説します。この問題では、複素数の絶対値を使って解法を進めます。

1. 問題の整理

与えられた式は、複素数の絶対値の形になっています。具体的には、| 12(-1+t) + (1+4t)i | という式です。ここで、複素数の絶対値は実部と虚部の2つの成分を使って求めます。

複素数の絶対値は、次の式で表されます。
| a + bi | = √(a² + b²)
ここで、aは実部、bは虚部です。この問題では、実部と虚部を求め、それらを用いて絶対値を計算します。

与えられた式 12(-1+t)+(1+4t)i を整理すると、実部は12(-1+t)、虚部は(1+4t)となります。これを用いて、絶対値を計算する式は次のようになります。
| 12(-1+t) + (1+4t)i | = √{(12(-1+t))² + (1+4t)²}

次に、この絶対値が0に近くなるtの値を求めます。絶対値が0に近づくためには、実部と虚部がともに0に近づかなければなりません。したがって、次の2つの方程式を解くことになります。
12(-1+t) = 0
1+4t = 0

まず、12(-1+t) = 0 を解くと、t = 1 になります。次に、1+4t = 0 を解くと、t = -1/4 になります。このため、t = 1 および t = -1/4 の2つの値を得ることができます。

したがって、| 12(-1+t) + (1+4t)i | が0に近くなるtの値は t = 1 および t = -1/4 です。これにより、複素数の絶対値が0に近づく条件が明確になります。