中学受験の算数では、速さや距離に関する問題がよく出題されます。今回は、ジョギングコースを走るAさんとBさんの速さの比を求める問題について解説します。AさんとBさんが反対方向に走ると6分ごとにすれ違い、同じ方向に走ると14分ごとにAさんがBさんを追い越すという状況を元に、速さの比をどのように求めるのかを詳しく見ていきましょう。
問題の整理
問題文を整理すると、次の情報が得られます。
- AさんとBさんは公園のジョギングコースを反対方向に走ります。
- 6分ごとにすれ違うということは、AさんとBさんがそれぞれ進む速さを足すとコース1周を6分で走ることになります。
- 同じ方向に走ると14分ごとにAさんがBさんを追い越すということは、AさんがBさんより速いことを示しています。
速さの比の求め方
まず、反対方向に走るときにすれ違う時間が6分ということから、AさんとBさんの速さの和を求めます。AさんとBさんが反対方向に走るとき、速さの和はコース1周を6分で進む速さに等しくなります。つまり、AさんとBさんの速さの和は1/6周/分です。
次に、同じ方向に走るときのAさんがBさんを追い越す時間が14分です。AさんがBさんを追い越すためには、AさんがBさんより速く走っている必要があります。その速さの差が1/14周/分であることが分かります。
速さの比を求める
Aさんの速さをA、Bさんの速さをBとしたとき、以下の2つの式が成り立ちます。
- A + B = 1/6（反対方向に走るときの速さの和）
- A – B = 1/14（同じ方向に走るときの速さの差）
この2つの式を連立方程式として解くと、AさんとBさんの速さの比が求められます。まず、A + B = 1/6とA – B = 1/14を足すと、2A = 1/6 + 1/14です。この式を解くと、A = 1/12となります。
次に、A – B = 1/14を使ってBを求めると、B = 1/14 – 1/12 = 1/42となります。これにより、AさんとBさんの速さの比はA:B = 1/12 : 1/42 = 7:3となります。
Bさんがジョギングコースを走る時間
次に、Bさんがコースを1周するのに何分かかるかを求めます。Bさんの速さは1/42周/分です。ジョギングコースを1周するのにかかる時間は、1周 ÷ Bさんの速さで求められます。
したがって、Bさんがコースを1周するのにかかる時間は、1 ÷ (1/42) = 42分です。これがBさんが1周する時間です。
まとめ
今回の問題では、AさんとBさんが走る速さの比を求めるために、速さの和と差の情報を元に連立方程式を解きました。最終的に、AさんとBさんの速さの比は7:3であり、Bさんが1周するのにかかる時間は42分であることが分かりました。このような問題では、速さや距離、時間の関係を整理して、計算を進めることが重要です。
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