数学の問題において、座標平面上の図形Cが示す領域を求めることは、方程式や定数の変化を理解するための重要な課題です。今回は、図形C: x² + y² – 1 – t(4x + 2y – 10) = 0が、tという定数によって変化する時、Cが示す領域を求める問題について考えます。特に、この問題では、Cが半径が1以上4以下の円を示す条件下で、tの変化に伴う領域の計算を行います。
問題の整理と方程式の変形
与えられた方程式は、C: x² + y² – 1 – t(4x + 2y – 10) = 0です。まず、この方程式を整理して、円の方程式に変形しましょう。最初に、tを分配して、次の形にします。
x² + y² – 1 – t(4x + 2y – 10) = 0 → x² + y² – 1 – 4tx – 2ty + 10t = 0
次に、x² + y²の項と、tに依存する項を分けて考えます。この形にすると、tに関する式をさらに整理して、円の半径と中心を求めることができます。
tの値による円の半径の変化
問題の条件では、Cが半径が1以上4以下の円を示すため、tの値を変化させることで円の半径が1から4の範囲に収まるようにします。この際、円の半径rは、x² + y²の項を基に計算されます。
円の半径rは、中心が(0,0)にあると仮定した場合、r = √(x² + y²)で求められます。しかし、tによって中心がずれるため、tの値によって円の半径が変動します。これにより、tの範囲を求め、tがどの範囲で円の半径が1から4の間に収まるかを求める必要があります。
tの範囲を求める
tが変化することで、円の半径が1以上4以下の範囲になるためのtの範囲を求めます。具体的には、tを使って半径を1以上4以下に保つ条件を設定し、tの最小値と最大値を求めることになります。例えば、tが特定の値に達すると、半径が1または4になるため、tの範囲を絞り込むことができます。
このようにして、tの範囲を計算し、円の半径が1以上4以下である条件を満たす領域を特定します。
結果のまとめ
図形Cが示す領域を求めるためには、与えられた方程式を整理して円の方程式に変形し、tの値を変化させることで円の半径が1から4の範囲に収まるtの範囲を求めます。最終的に、tが特定の範囲内で変化することで、Cが半径が1以上4以下の円を描く領域を得ることができます。
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