微積分の問題解説 – 集合 R>0 における関数 f(x) = 1/x の集積点と極限の証明

大学の微積分の問題では、関数の集積点や極限を求める問題がよく出題されます。特に、関数 f : R>0 → R が定義された場合、その集積点や極限を求める問題は、定義や定理をしっかり理解することで解決できます。この記事では、集合 R>0 における関数 f(x) = 1/x に関して、(1) 集積点の証明と (2) 極限の証明方法を解説します。

問題設定と関数の定義

まず、関数 f : R>0 → R は、x → 1/x の形で定義されています。この関数は、実数 R>0（正の実数）の集合から、実数 R への写像です。

問題の内容は、関数 f(x) の集積点と極限に関するものです。まずは、(1) 集積点の証明から見ていきます。

(1) 3 は f の定義域 R>0 の集積点であることを示す

集積点とは、ある点に対して、その周りに必ず定義域の他の点が存在するような点のことを指します。これを示すためには、任意の ε > 0 に対して、x = 3 の近くに他の点が存在することを確認します。

具体的には、x = 3 に ε の範囲を取ったとき、その範囲内に必ず他の x ∈ R>0 が含まれることを証明します。例えば、ε = 0.1 とした場合、(3 – ε, 3 + ε) の範囲に他の x が含まれることがわかります。これにより、3 は集積点であることが示されます。

(2) lim(x→3) f(x) = 1/3 を示す

次に、x が 3 に近づくときの f(x) の極限を求めます。この場合、f(x) = 1/x なので、x → 3 のとき、f(x) は 1/3 に収束します。

極限の定義に基づいて、x → 3 のとき f(x) が 1/3 に近づくことを示すためには、任意の ε > 0 に対して、|f(x) – 1/3| < ε を満たすような δ > 0 を見つける必要があります。

具体的には、|f(x) – 1/3| = |1/x – 1/3| を簡単に計算して、x が 3 に十分近づいたときに、この値が 0 に収束することを確認できます。これにより、lim(x→3) f(x) = 1/3 が成り立つことが証明されます。

まとめ

R>0 における関数 f(x) = 1/x に関して、(1) 3 は集積点であること、(2) lim(x→3) f(x) = 1/3 であることを示しました。集積点の証明では、任意の ε に対して近くに他の点が存在することを確認し、極限の証明では、x → 3 のときに f(x) が 1/3 に収束することを示しました。このような定義や証明方法をしっかり理解することで、微積分の問題に自信を持って取り組むことができます。