期待値の計算と独立性：確率変数の問題の解説

この記事では、確率変数の期待値と独立性について、特に問題に関して「E[χ_F S] = E[χ_F]E[S]」が成り立つ理由を解説します。この問題では、確率変数の独立性に基づいて、期待値の積が期待値の積として分解される理由を理解することが重要です。

確率空間と確率変数の設定

まず、問題の背景となる確率空間を整理しましょう。(Ω, Σ, P)を確率空間とし、X_1, X_2, …, X_nは独立な実数値確率変数の列として定義されています。これらの確率変数に関して、各jに対してP(X_j = 1) = P(X_j = -1) = 1/2が成り立っています。

さらに、kを自然数、F ∊ σ(X_1, …, X_k)とし、σ(X_1, …, X_k)はX_1, …, X_kが可測になるような最小のσ加法族です。この設定を基に、f(x)の期待値計算に進みます。

問題の核心は、χ_F（Fの定義関数）とS（Σ_{j=k+1}^n X_k X_j）が独立であることにあります。この独立性が成り立つことで、E[χ_F S] = E[χ_F]E[S]が成り立つ理由が説明できます。

独立性とは、χ_FとSが互いに影響を与えないことを意味します。χ_Fはσ加法族Fに関する情報を含んでおり、SはX_kからX_nに関する情報です。X_1, X_2, …, X_nが独立であるため、χ_FとSは独立性を持ち、その結果、積の期待値が期待値の積として分解されます。

次に、E[χ_F S] = E[χ_F]E[S]が成り立つ理由を具体的に見ていきます。χ_FとSが独立であるため、次のように期待値を分けることができます。

ここで、χ_FはFに関する情報を反映した定義関数であり、Sは残りの確率変数に関する情報を反映した和です。独立性があるため、この式が成り立ちます。

確率変数の独立性と期待値に関する問題では、χ_FとSが独立であることが期待値の積を分ける理由です。独立性が成り立つことで、積の期待値は各期待値の積に分解され、E[χ_F S] = E[χ_F]E[S]が成り立ちます。この理論を理解することで、確率変数の関係をより深く理解できるようになります。