√nが有理数ならば√nは整数である理由の証明

この問題では、√nが有理数であるならば、√nが整数であることを示す必要があります。質問者は自分の回答に自信があるものの、参考書と異なる部分があるとのことです。本記事ではその証明過程を解説し、回答の正誤を確認します。

1. √nが有理数であるとは

まず、√nが有理数であるとは、√nが整数の比として表せることを意味します。つまり、√n = p/q という形で表され、ここでpとqは互いに素な正の整数である必要があります。この形で√nが有理数である場合に限り、その後の証明が適用されます。

質問者が示したように、√n = p/q (p, qは互いに素な正の整数) と仮定します。この式を使って証明を進めていきます。両辺を二乗すると、n = p²/q² となります。この時点で、nとp、qの関係が明確になり、nとq²の関係に注目します。

重要なのは、pとqは互いに素であり、したがってp²とq²も互いに素であることです。これにより、q²が1でなければならないことが分かります。なぜなら、p²とq²が互いに素であるならば、q²が1以外の値を取ることはできないからです。

q²が1であることが分かるので、q = 1であることが確定します。このとき、n = p²となり、√n = pとなります。pは整数であるため、√nも整数であることが証明されました。よって、√nが有理数であれば、√nは整数であることが確認できました。

質問者の回答は基本的に正しいですが、詳細な説明を加えることで、証明過程がより明確になります。この問題の証明を通じて、数学的な論理の流れとその背景を理解することができます。