数学問題の解説：f(x) = ax + cos(x) + (1/2)sin(2x) の極値を持たない条件

この記事では、数学の問題「f(x) = ax + cos(x) + (1/2)sin(2x) が極値を持たないようなaの範囲」を解説します。特に、f(x)を微分して極値を求める方法について、なぜ0 ≦ a ≦ 2の範囲では極値を持たないのかを深堀りしていきます。

問題の整理と式の微分

まず、与えられた関数 f(x) = ax + cos(x) + (1/2)sin(2x) を微分して、極値を求めます。f'(x) を求めることで、極値の条件を導き出すことができます。

f'(x) = a – sin(x) – cos(x) が得られます。ここで、極値が存在しないためには、f'(x) が常に0以上または常に0以下である必要があります。

次に、f'(x) = 0となるxの値を求め、その解の個数によって極値が存在するかどうかを確認します。もし解が2つ以上あれば、極値が存在することになります。

特に、aの範囲が -2 ≦ a ≦ 0 の場合、実数解が2つになるため、極値が存在します。しかし、aの範囲が 0 ≦ a ≦ 2 の場合、実数解は1つであり、これが極値を持たない条件になります。この点が、質問者の考えのポイントです。

aの値によって解の数が変わる理由を理解することが重要です。aが0 ≦ a ≦ 2の場合、f'(x)の解は1つだけとなり、極値は存在しません。この状態は、f'(x) が一度しか0にならず、その後は常に符号が変わらないためです。

一方、-2 ≦ a ≦ 0の範囲では、f'(x)が2つの実数解を持ち、極値が存在します。この点については、解の個数が変化することが大きなポイントです。

最終的に、関数f(x) = ax + cos(x) + (1/2)sin(2x)が極値を持たないためのaの範囲は、0 ≦ a ≦ 2であることがわかります。この範囲で、f'(x)の解は1つとなり、極値を持たないことが確認できます。

この問題を解く際には、微分の基本的なルールを理解し、解の個数に注目することが重要です。これにより、関数の極値を正確に求めることができ、問題に対する理解が深まります。