円と直線の交点を求める方法：mの値の範囲の求め方と解説

円と直線が交わる条件を求める問題は、数学IIにおける重要なテーマの一つです。特に、直線と円の交点が存在するための定数mの範囲を求める問題に関しては、放物線や直線の方程式を理解していることが前提となります。本記事では、円x²+y²=2と直線y=x+mの交点が存在する条件を求める方法を解説します。

円と直線の交点を求める基本の手順

まず、円の方程式と直線の方程式が与えられたとき、交点を求めるためには、両方の方程式を連立させます。今回の問題では、円の方程式x²+y²=2と直線の方程式y=x+mです。これらの方程式を連立させて、交点の有無を確認します。

まず直線の方程式からy=x+mを円の方程式に代入します。そうすることで、次のような式が得られます。

y=x+mを円の方程式に代入すると、次のような式が得られます。

x² + (x + m)² = 2

この式を展開すると、x² + (x² + 2mx + m²) = 2 となり、次のように整理できます。

2x² + 2mx + m² = 2

次に、二次方程式の解が実数かどうかを判別するために、判別式を使用します。判別式は、二次方程式ax²+bx+c=0の解の有無を判定する方法で、Δ=b²-4acで計算します。

今回の場合、2x² + 2mx + (m² – 2) = 0という形になります。これを判別式に当てはめると、Δ = (2m)² – 4×2×(m² – 2) となります。判別式が0以上であれば、実数解が存在し、交点が存在することが分かります。

判別式Δが0以上となるための条件を求めると、以下のような不等式が得られます。

Δ = 4m² – 8(m² – 2) ≥ 0

これを整理すると、-8m² + 16 ≥ 0 となり、最終的にmの範囲は-2 ≤ m ≤ 2となります。

このような問題では、円と直線の交点を求めるために、方程式を代入して整理し、判別式を使って解の有無を確認する方法が一般的です。特に、二次方程式における判別式の利用は、他の問題にも応用可能です。

例えば、直線と放物線の交点を求める問題では、同じように方程式を連立させて、判別式で解の有無を確認することができます。この方法をしっかり理解しておくことが、数学IIの問題を解く際の大きな助けとなります。

円x²+y²=2と直線y=x+mが交わる条件を求める方法について解説しました。判別式を使ってmの範囲を-2 ≤ m ≤ 2と求めることができました。この考え方は、他の幾何学的な問題にも応用できるので、しっかりと理解しておくことが重要です。ぜひ、他の問題にも挑戦してみてください。