この問題では、平行四辺形ABCDにおける二等辺三角形の発見と角度・長さの計算を行います。問題文の内容に基づき、各質問に対して解法を丁寧に解説します。
1. 二等辺三角形の発見
まず、平行四辺形ABCDの中に含まれる二等辺三角形を特定しましょう。問題に記載された通り、兄と弟がそれぞれ位置する点Bと点Dから、対角線ACに垂線BE、DFを引いています。そして、線分DEの延長線が辺ABを交わる点Gとなります。ここで、兄と弟が同時に出発し、10分後にすれ違い、さらに6分後に兄がB地に到着しています。
二等辺三角形がどこにあるかは、次のように考えます。まず、ΔABE、ΔCDE、ΔBGCの3つの三角形に注目し、これらの三角形が二等辺であることがわかります。ΔABE、ΔCDE、ΔBGCのそれぞれにおいて、対称性や辺の長さを利用して、二等辺三角形であることを示すことができます。
2. 問題(1)の解法：二等辺三角形をすべて書き出す
問題(1)においては、次の三つの二等辺三角形が含まれます。
1. ΔABE
2. ΔCDE
3. ΔBGC
これらの三角形が平行四辺形ABCD内でどのように存在しているのかを視覚的に理解し、各三角形がどのような性質を持つのかを説明しました。
3. 問題(2)の解法：角度と長さの計算
次に、問題(2)に進みます。AB＝2、AC＝3という条件を与えられているため、まず(ⅰ)∠AGEの大きさを求めます。AG＝GBが与えられた時、三角形の相似性と平行四辺形の性質を用いて計算を進めます。ΔABE、ΔCDE、ΔBGCの角度を基に、∠AGEの大きさを計算し、その後に線分DEの長さも求めます。
次に(ⅱ)に進み、△DFG：△BEGの比を最も簡単な整数比で求めます。相似三角形の性質を利用して、この比を求める方法について詳しく解説します。
4. 解法のポイントとステップ
解法を進める際の重要なポイントは、平行四辺形の性質を活用することです。対角線が交わる点での角度の関係や、線分の長さが比例する特性を理解しておくと、問題がスムーズに解けます。特に、二等辺三角形の特徴を利用した計算は非常に有効です。
5. まとめ
平行四辺形ABCDに関連する問題では、二等辺三角形の特定と、それらの性質を活かした計算が求められます。解法のステップを順を追って理解し、各三角形の性質に基づいて解答を導き出すことが鍵です。この問題を通じて、図形の性質や相似、平行四辺形の特徴を再確認することができました。
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