今回は、関数f(x)=∫(1→t) (t-1)(t-2)dtの極大値と極小値を求める問題について解説します。まずは関数の定義から出発し、微分や臨界点を求める手順を詳しく説明します。
1. 関数の定義
与えられた関数f(x)は、定積分で表されています。具体的には、f(x) = ∫(1→t) (t-1)(t-2) dtです。ここで、積分区間は1からtまでとなっています。
2. 積分の計算
まず、(t-1)(t-2)を展開して積分を計算します。
(t-1)(t-2) = t² – 3t + 2となるので、積分は以下のようになります。
f(x) = ∫(1→x) (t² – 3t + 2) dt
これを積分すると、次の式が得られます。
f(x) = (t³ / 3) – (3t² / 2) + 2t |(1→x)
ここで、上限xを代入し、下限1を代入します。
3. f(x)の表現
f(x)を計算すると、次のような式になります。
f(x) = (x³ / 3) – (3x² / 2) + 2x – [(1³ / 3) – (3(1²) / 2) + 2(1)]
計算を簡略化すると、次の式が得られます。
f(x) = (x³ / 3) – (3x² / 2) + 2x – (1/3) + (3/2) – 2
この式を用いて、極値を求めます。
4. 極値を求めるための微分
次に、f(x)を微分して臨界点を求めます。f'(x)を求めると。
f'(x) = x² – 3x + 2となります。これを0に設定して、臨界点を求めます。
x² – 3x + 2 = 0
この二次方程式を解くと、x = 1, 2となります。これらが臨界点です。
5. 極大値と極小値の判定
次に、f(x)の二階導関数f”(x)を求めて、x = 1とx = 2での値を確認します。
f”(x) = 2x – 3となるので、x = 1とx = 2を代入して判定します。
f”(1) = 2(1) – 3 = -1（負）なので、x = 1では極大値があります。
f”(2) = 2(2) – 3 = 1（正）なので、x = 2では極小値があります。
6. 結論
したがって、関数f(x)の極大値はx = 1で、極小値はx = 2であることが分かりました。具体的には、x = 1で極大値、x = 2で極小値となります。
このように、微分を用いて関数の極値を求めることができました。
コメント