三次関数における重解とX軸との接触についての説明

三次関数において、重解がX軸と接する理由を理解するためには、関数のグラフとその導関数（傾き）の関係を理解する必要があります。この記事では、具体的な例を通して、重解がどのようにX軸と接するのかを詳しく解説します。

三次関数の重解とX軸の接触

まず、三次関数における重解とは、関数の解が一度でなく複数回現れることを意味します。たとえば、f(x) = (x – 1)^2(x + 2) = 0のように、x = 1で重解が現れます。この場合、x = 1はグラフ上でX軸と接する点となります。

なぜ重解がX軸と接するのか

重解とは、関数の解が2回以上同じ値を取ることです。関数のグラフがX軸と接するということは、その点で関数の値が0になるだけでなく、グラフの形状がX軸と平行に接しているということです。つまり、X軸との接触点で関数の傾き（導関数）が0になり、さらに接するという現象が起こります。

導関数を使った証明

例えば、f(x) = (x – 1)^2(x + 2)の場合、まずこの関数を展開して導関数を求めます。f'(x)を計算すると、x = 1でf'(1) = 0が成立することがわかります。これにより、x = 1で関数がX軸と接していることが証明されます。このように、重解ではグラフがX軸と接し、導関数がゼロになるため、接する状態が実現します。

一般的な法則としての解釈

一般的に、三次関数における重解は、X軸との接触点でグラフの傾きがゼロとなり、関数がX軸に接することを意味します。これは、関数の定義域内で解が2回以上現れるため、その点でX軸と接することになります。

まとめ

三次関数において重解がX軸と接する理由は、関数の解が2回以上同じ値を取るため、その解でグラフの傾きがゼロとなり、X軸と接するからです。導関数を使った証明により、重解がどのようにグラフ上でX軸と接するのかを理解することができます。この理解は、数学的な直感を深め、三次関数のグラフをより正確に描くために役立ちます。