電磁気学の問題: ベクトルEの発散と回転、ガウスの定理とストークスの定理

この問題では、ベクトル場Eに関する電磁気学の基本的な概念である発散（div E）と回転（rot E）を求め、さらにそれらに関連するガウスの定理およびストークスの定理を確認します。これらの定理は、電磁気学の理解において非常に重要な役割を果たします。

ベクトルEの発散と回転

ベクトル場E = (Ex, Ey, Ez) が与えられている場合、まずはその発散（div E）と回転（rot E）を求める必要があります。

発散は、ベクトル場のフローの源または吸収の度合いを示すスカラー量です。ベクトルEの発散は、次の式で表されます。

∇・E = ∂Ex/∂x + ∂Ey/∂y + ∂Ez/∂z

ここで、Ex, Ey, Ezはそれぞれx, y, z軸方向のベクトル成分です。発散の値は、ベクトル場のある点での「源」または「吸収」を示し、もし発散が正であればその点は源、負であれば吸収が行われていることを意味します。

回転は、ベクトル場の「渦」の強さを示すベクトル量です。回転（rot E）は次の式で求められます。

∇×E = (∂Ez/∂y - ∂Ey/∂z) i + (∂Ex/∂z - ∂Ez/∂x) j + (∂Ey/∂x - ∂Ex/∂y) k

ここで、i, j, kはそれぞれx, y, z軸の単位ベクトルです。回転は、ベクトル場の「渦」や「回転」を表す量であり、流れがどの程度旋回しているかを示します。

ガウスの定理は、閉じた表面を囲む電場の発散が、その表面内の総電荷に比例することを示す定理です。式で表すと。

∮_S E ・ dA = ∫_V (∇・E) dV = Q / ε₀

ここで、Sは閉じた表面、Vはその内側の体積、Qはその内部に存在する電荷の総量、ε₀は真空の誘電率です。ガウスの定理は電場と電荷の関係を理解するために重要です。

ストークスの定理は、面積上の回転とその面を囲む閉じた曲線上の線積分が等しいことを示す定理です。式で表すと。

∮_C E ・ dl = ∫_S (∇×E) ・ dA

ここで、Cは閉じた曲線、Sはその曲線で囲まれた面です。ストークスの定理は、回転の理解を深め、電場の循環とその物理的解釈を提供します。

電磁気学の基本的な定理であるガウスの定理とストークスの定理を理解することは、電場や磁場の性質を解明するために非常に重要です。これらの定理を活用することで、電磁気学の現象をより深く理解でき、実際の物理問題に適用することができます。