直線QYと直線PXがねじれの位置にあるための条件についての解説

この問題では、四点O, A, B, Cが同一平面上にないと仮定し、直線PXと直線QYがねじれの位置にあるための条件を求める問題です。まず、与えられた情報を基に、方向ベクトルを使って条件を整理していきます。

問題の設定

与えられた情報では、座標空間において、点O, A, B, Cがあり、点Pは線分OAの中点、点Qは線分ABの中点です。また、実数x, yを用いて、直線OC上の点Xと直線BC上の点Yが次のように定義されています。

このとき、直線QYと直線PXがねじれの位置にあるためのx, yに関する必要十分条件を求めるという問題です。

まず、PXとQYの方向ベクトルを求めます。PXの方向ベクトルは以下のように表されます。

PX→＝(-1/2)OA→ + xOC→

次に、QYの方向ベクトルは以下のように表されます。

QY→＝(-1/2)OA→ + (1/2 + y)OB→ + yOC→

ここで、OA→, OB→, OC→が一次独立であることから、PXとQYが平行でない場合、xとyの関係が成立します。

PXとQYが平行でないための条件は、ベクトルPXとQYが線型独立である必要があります。これを式にすると、以下の関係が成立することがわかります。

x ≠ 1/2およびy ≠ 1/2です。

したがって、直線PXと直線QYがねじれの位置にあるためには、x ≠ 1/2、y ≠ 1/2が必要です。

直線PXと直線QYがねじれの位置にあるためのxとyの条件は、x ≠ 1/2かつy ≠ 1/2です。この条件を満たすと、PXとQYは平行ではなく、ねじれの位置にあるといえます。