±|x| と ±x の同値変形について

数学における絶対値の変形について、±|x|と±xが同値かどうかという疑問が生じることがあります。この記事では、±|x|と±xがどのような関係にあるのか、そしてその同値変形が可能かどうかについて解説します。

絶対値の基本的な理解

絶対値は、ある実数xに対して、その数値の「大きさ」を示すものです。数学的には、xが正の数であればそのままx、負の数であれば-xとして定義されます。つまり、絶対値記号|x|は、xの正の部分を返します。

絶対値の特性を理解するためには、次の式を覚えておくことが大切です：
|x| = x (x ≧ 0の場合)
|x| = -x (x < 0の場合)

次に、±|x|と±xの違いについて見ていきます。±|x|は、xが正でも負でも、その絶対値を考慮した値を取ることを意味します。具体的には、±|x|は「x」と「-x」の2つの値を取りますが、xの符号に関わらず、値の大きさ（絶対値）は常に同じです。

一方、±xは、xそのものが正の場合と負の場合で異なる値を取る可能性があります。つまり、±xはxと-xの2つの値を取りますが、x自体がそのまま使われます。

±|x|と±xが同値かどうかについてですが、厳密には同値とは言えません。というのも、±|x|の変形は常に「x」と「-x」を表すものであり、xの符号に関わらず絶対値の範囲でのみ変化します。しかし、±xはxの符号そのものに依存して変化するため、場合によっては異なる結果になることもあります。

例えば、x = -3のとき、±|x|は±3となりますが、±xは±(-3)となり、結果として±3になります。しかし、xが正の場合には±xと±|x|は同じ値になるものの、負の値の場合には解釈が異なることがあります。

±|x|と±xは、ある意味で似ているものの、同値変形として扱うことはできません。特にxが負の値の場合に、±|x|はxの絶対値を扱うため、正と負を区別する必要があります。一方、±xはxそのものを含み、その符号に応じて異なる値を取るため、同じ範囲で変形することは難しいと言えます。