関数 y = √(-x² + x + 6) の定義域を求める問題では、ルート内の式が0以上でなければならないという条件を満たす必要があります。この条件をもとに、定義域を求める方法を解説します。
関数の定義域とは？
関数の定義域とは、その関数が定義されるxの値の範囲です。特に平方根を含む関数の場合、平方根内の式が負の数になってしまうと、実数解が得られません。したがって、ルート内の式が0以上である必要があります。
今回の関数 y = √(-x² + x + 6) では、平方根の中身が負でない範囲を求めることが求められます。
平方根内の式が0以上である条件
関数 y = √(-x² + x + 6) の定義域を求めるために、まず平方根内の式「-x² + x + 6」が0以上である条件を求めます。
式を不等式で表すと、次のようになります：
-x² + x + 6 ≥ 0
この不等式を解くことで、xの範囲が求められます。
不等式の解法
-x² + x + 6 ≥ 0 を解くためには、まず両辺に-1を掛けて不等号の向きを変えます。これにより、次のようになります。
x² – x – 6 ≤ 0
この二次不等式を解くために、まずはx² – x – 6 = 0 の解を求めます。
解の公式を使って解くと、次のようになります。
x = (-(-1) ± √((-1)² – 4(1)(-6))) / 2(1)
x = (1 ± √(1 + 24)) / 2
x = (1 ± √25) / 2
x = (1 ± 5) / 2
したがって、x = 3 または x = -2 となります。
これにより、x² – x – 6 ≤ 0 の解は、-2 ≤ x ≤ 3 となります。
定義域の範囲
したがって、関数 y = √(-x² + x + 6) の定義域は、xが-2以上3以下の範囲、すなわち、定義域は [-2, 3] です。
まとめ
y = √(-x² + x + 6) の定義域を求めるためには、平方根内の式が0以上である条件を満たすxの範囲を求める必要があります。解の結果、定義域は [-2, 3] であることがわかります。
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