2変数関数の最小値問題とその解法の理解

大学受験の数学でよく見かける2変数関数の最小値問題。なぜ最小値を求める際に2回計算するのか、その理由と、yを固定して得られる最小値が示すものについて、グラフの観点から詳しく解説します。

2変数関数の最小値問題とは

2変数関数の最小値問題は、例えばf(x, y)という関数が与えられたとき、その関数の最小値を求めるという問題です。この問題を解くためには、まずf(x, y)の偏微分を使って、極値となる点（つまり、最小値や最大値）を求めます。

しかし、実際には一度の計算だけでは最小値が確定できません。なぜなら、2変数関数の場合、変数が2つあるため、最小値を特定するために、yを固定した後にxについて最小値を求め、その結果を元に最終的な最小値を決定する必要があります。

yを固定して最小値を求める理由

2変数関数では、まずyを固定してその中でxについての最小値を求めます。これを行う理由は、yを一定にした場合、関数は1変数の関数のように扱えるからです。yを固定すると、xだけが変数となり、f(x, y)はf(x, c)という形に変換されます。これにより、xに関しての最小値を求めることができます。

このようにして、yを固定した場合のxの最小値を得た後、次にyを変えた場合の最小値を求め、最終的に全体の最小値を導き出すのです。

グラフから見る2変数関数の最小値

2変数関数の最小値をグラフで考えると、関数のグラフは3次元空間における曲面になります。最小値は、この曲面上で最も低い点にあたります。グラフを視覚的に見ると、yを固定することで、曲面が1変数関数となり、その中で最小値を求めることができます。

このようにして得られた最小値を、yを変えて再度繰り返すことにより、最終的な最小値を得ることができます。これが、「2回最小値を求める」というプロセスの本質です。

まとめ

2変数関数の最小値問題では、yを固定してxに関して最小値を求め、その後yを変えながら再度最小値を求めるというプロセスを踏むことで、最終的な最小値を確定させます。グラフの観点から見ると、これは曲面上で最も低い点を探す作業に相当し、数学的には適切な最小値を求めるための必要な手法です。