Rをネーター整域としたとき、Rの任意の非零元は既約元に分解されることの証明方法

「Rをネーター整域とすると、Rの任意の非零元は既約元に分解されることを示せ。」という問題について、まずはネーター整域や既約元の定義を確認し、その上でどのように証明を進めるかを解説します。この記事では、ネーター整域での分解理論に基づいたアプローチを解説します。

ネーター整域とは？

ネーター整域は、加法と乗法に関して整域の性質を持ち、また加法について可算無限の生成元を持つ環のことです。特に、ネーター整域の特徴として、加法群が可算生成である点と、任意の理想が最大理想であることが挙げられます。

具体的には、ネーター整域では「素元」を使って理想を表現できるという性質があり、これが分解理論において非常に重要になります。

既約元は、環の元であり、分解することができない「素」のような役割を持ちます。具体的には、既約元rは、もしrがaとbの積で表されるならば、aかbのいずれかがrの倍数である必要があります。これは、非零元が既約元に分解できるということを示します。

つまり、既約元は「素数的な存在」であり、ネーター整域においてはその性質を使って証明を進めます。

この問題の証明には、ネーター整域の性質を利用します。ネーター整域では、任意の非零元は最大の素元または既約元に分解できるという性質があります。

まず、Rの非零元aについて考えます。aが既約元でない場合、aは分解可能な元であり、その分解過程で最終的に既約元に到達します。証明においては、aを素元に分解する手続きを繰り返すことで、aが最終的に既約元に分解できることが示されます。

Rがネーター整域である場合、Rの任意の非零元は必ず既約元に分解されることが示されました。この証明では、ネーター整域の性質を活用し、非零元を分解して最終的に既約元に到達する過程を経ました。ネーター整域における分解理論は、環論における基本的な技法の一つとして重要です。