y = 2x² - 4x + 1 の接線の方程式を求める方法：導関数を使う理由

数学の問題で、「y = 2x² – 4x + 1」のグラフ上の点(0,1)における接線の方程式を求める際、なぜ導関数を使うのかが分からないという疑問を持つ方が多いかもしれません。この記事では、その理由と接線の方程式を求める方法を解説します。

接線とは？

接線とは、関数のグラフにおいて、ある点での「瞬間的な変化率」を表す直線です。この点での接線の傾きは、関数の導関数を使って求めることができます。接線は、関数の変化の速さを示しており、関数のグラフがその点でどのように進んでいるのかを直感的に理解するための重要なツールです。

接線を求めるためには、まずその点での関数の傾きを求める必要があります。この傾きを導関数を使って求めるのが基本的な方法です。

導関数は、関数の「変化率」を示す関数です。具体的には、関数f(x)の導関数f'(x)は、xの値が変化することによるyの変化の割合を表します。つまり、導関数を求めることによって、関数の任意の点での接線の傾きを知ることができるのです。

例えば、関数y = 2x² – 4x + 1の導関数を求めると、その導関数はy’ = 4x – 4となります。この導関数を使って、特定のxの値における接線の傾きを計算できます。

接線の方程式を求めるためには、まずその点での傾きを求め、その後その点を通る直線の方程式を求めます。

今回の問題では、与えられた点が(0,1)であり、関数y = 2x² – 4x + 1の導関数を使ってその点での傾きを求めます。導関数はy’ = 4x – 4ですので、x = 0を代入すると、y’ = -4となります。このことから、点(0,1)での接線の傾きは-4であることが分かります。

次に、点(0,1)を通り、傾きが-4の直線の方程式を求めます。直線の方程式は、y – y₁ = m(x – x₁)の形式で表せます。ここで、mは傾き、(x₁, y₁)は通る点です。今回の場合、m = -4、(x₁, y₁) = (0,1)ですので、方程式は以下のようになります。

y – 1 = -4(x – 0)

これを整理すると、y = -4x + 1 という接線の方程式が得られます。

接線の方程式を求める際に導関数を使う理由は、接線の傾きを求めるためです。導関数は関数の瞬間的な変化率を表しており、これを使って任意の点での接線の傾きを求めることができます。具体的には、与えられた関数の導関数を求め、その点での傾きを使って接線の方程式を導出します。