積分の概念は、微積分学の中でも重要なテーマの1つです。特に、面積を求める積分について、微細な変化を足し合わせていく過程と、最終的にどのようにして解が得られるのかがよく分からないことがあります。この記事では、積分がどのように成り立つのか、また「f(a) − f(b)」がなぜ面積として解釈できるのかについて解説します。
積分の基本的な考え方
積分は、関数の下にある面積を求める方法です。微積分の考え方では、まず微小な幅（Δt）で面積を求め、それらを合計していくという過程を経ます。具体的には、関数f(t)の曲線下における微小な矩形の面積を、幅Δt（ほぼ0）で積み上げていきます。この方法を「リーマン和」と呼びます。
この過程を無限に小さなΔtを取りながら積み重ねていくと、最終的に面積の総和（積分）が得られます。しかし、面積の計算が最終的に「f(a) − f(b)」のような簡単な形になる理由は、積分の定義にある特別な性質に起因しています。
定積分と「f(a) − f(b)」の関係
積分の計算方法として最も基本的なのは「定積分」です。定積分では、ある区間[a, b]における関数f(x)の面積を求めるために、次の式を使います：
∫(a, b) f(x) dx。この式は、aからbまでの範囲におけるf(x)の曲線下の面積を意味しています。
定積分を計算する際、リーマン和を用いて微小な幅で面積を足し合わせていきますが、最終的に得られるのは、関数f(x)の原始関数（積分の結果）での値の差です。この差は、f(b) − f(a)で表され、なぜこの形になるのかは積分と微分が逆操作であることに関係しています。
微積分の基本定理とその意味
微積分の基本定理は、微分と積分が逆の操作であることを示しています。具体的には、関数f(x)の定積分は、その原始関数F(x)（すなわち、f(x)の積分結果）を使って計算できます。式で表すと、次のようになります。
∫(a, b) f(x) dx = F(b) − F(a)。ここで、F(x)はf(x)の原始関数であり、F(b)とF(a)の差が求めるべき面積になります。このように、積分はある範囲における関数の変化量を、原始関数を使って簡単に計算できる方法です。
「f(a) − f(b)」で面積が求められる理由
最初に「f(t) × Δtを足して面積を求める」と学びますが、最終的に「f(a) − f(b)」で面積を求める理由は、積分がリーマン和を使って、無限小の幅Δtを取った結果の積分値であるためです。リーマン和を積み重ねていくと、無限に小さな矩形の面積が合計され、最終的にf(x)の原始関数の差が面積を表すことになります。
この「f(a) − f(b)」の形に至る理由は、微積分の基本定理にある通り、積分が微分の逆操作であり、関数の変化量を積分することによって、単純な差分で面積を求めることができるからです。
まとめ
積分は、関数の下にある面積を求める方法であり、最初は微小な面積を足していくという方法で理解できます。最終的に「f(a) − f(b)」という形になるのは、微積分の基本定理に基づく原始関数を使った計算方法だからです。この考え方を理解することで、積分の意味と計算方法がより明確になるでしょう。
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