微分方程式 2y'y'' = 1 - y'^2 の解法とステップ

「2y’y” = 1 – y’^2」という微分方程式の解法に関する問題について、まずは式を整理し、どのようにして解くのかをステップごとに解説します。この記事では、この微分方程式を解くためのアプローチを具体的に説明します。

微分方程式の整理と変数の定義

まず、微分方程式「2y’y” = 1 – y’^2」を見てみましょう。ここで、y’はyの1階微分、y”はyの2階微分を意味します。式を簡単に理解するために、まず「y’ = p」とおき、微分方程式をpを用いた式に変換してみましょう。

式をpで表すと、y”はdp/dxであり、したがって式は次のようになります。

2p(dp/dx) = 1 – p^2

次に、変数分離法を用いて微分方程式を解く方法を見ていきます。変数分離法は、微分方程式の両辺をそれぞれ独立した変数で表す手法です。ここで、xに関する項とpに関する項を分けていきます。

上記の式を整理すると、次のように変形できます。

(2p / (1 – p^2)) dp = dx

これで、左辺はpに関する式、右辺はxに関する式となり、変数分離が完了しました。

変数を分離したので、次は積分を行います。まず、左辺の積分を考えます。

∫(2p / (1 – p^2)) dp

これは、分数の形で積分する問題です。積分結果として、次のような式が得られます。

-ln|1 – p^2|

次に右辺はxに関して積分すると、単純にxとなります。

したがって、積分結果は次のようになります。

-ln|1 – p^2| = x + C

最終的に、pを元に戻し、解をyに関して表現することで、この微分方程式の解が得られます。

p = y’であることを考慮して、最終的な解の形に変換します。これで、与えられた微分方程式の解法が完了しました。

微分方程式「2y’y” = 1 – y’^2」の解法を通じて、変数分離法と積分を用いた解法のプロセスを解説しました。この方法を理解すれば、他の類似した微分方程式にも適用できるようになります。微分方程式を解く際の基本的なアプローチを学ぶことができました。