中2数学一次関数の問題解説：直線の式と範囲の求め方

中学2年生の数学で出題される一次関数の問題について、解き方を解説します。今回は、点A(2, 4)と点B(5, 1)を通る直線に関連した問題を中心に説明します。特に、直線の式におけるパラメータ（bやa）の範囲を求める方法を詳しく解説します。

問題2：直線の式とbの範囲

（ア）直線y = x + bが線分AB上の点を通るとき、bがとることのできる値の範囲を求めます。

まず、点A(2, 4)と点B(5, 1)を通る直線の式を求めるために、直線の傾き（m）を計算します。傾きmは、次の式で求められます。

m = (y2 – y1) / (x2 – x1) = (1 – 4) / (5 – 2) = -3 / 3 = -1

これにより、直線の方程式はy = -x + bの形になります。次に、点A(2, 4)をこの式に代入してbの値を求めます。

4 = -2 + b → b = 6

したがって、直線の方程式はy = -x + 6です。

次に、直線が線分AB上の点を通る場合、bの範囲を求めます。直線y = x + bがAB上の点を通るためには、直線と線分ABが交わる範囲を求めます。このとき、bの範囲は-4≦b≦2です。

（イ）直線y = ax – 1が線分AB上の点を通るとき、aがとることのできる値の範囲を求めます。

まず、傾きaを求めるために、直線y = ax – 1と点A(2, 4)および点B(5, 1)が交わる条件を使います。点A(2, 4)と点B(5, 1)を通る直線の傾きは、すでに求めた通り-1です。このため、直線y = ax – 1が線分AB上の点を通るためには、aが次の範囲を取ります。

5分の2≦a≦2分の5です。

次に、3直線y = x – 3、y = -3/2x + 2、y = ax + 4で三角形を作ることができないaの値を求めます。

三角形を作るためには、3直線が異なる点で交わる必要があります。もし、3直線が平行または同じ直線になる場合、三角形はできません。これらの直線が平行または同じ直線になるためのaの値を求めます。

y = x – 3とy = -3/2x + 2が平行となる条件や、y = ax + 4と他の直線が平行になる条件を求めると、a = 1、a = -3/2、a = -3/4となります。

今回の問題では、一次関数の直線の式とそのパラメータ（bやa）の範囲を求める方法を学びました。具体的な計算過程を踏まえて、直線が通る範囲や交点を求める方法を理解することが大切です。特に、直線の傾きや交点を利用して問題を解くことで、より多くの問題に対応できるようになります。