数学1の授業で扱う二次不等式や二次方程式は、さまざまな解析に使われます。その中で判別式(D)を用いて、解の個数やグラフの位置を判断する方法は重要なテクニックです。本記事では、判別式Dを使った解の個数や位置の決定法、二次不等式の解法を丁寧に解説します。
1. 判別式Dとは？
二次方程式の判別式Dは、方程式の解が実数か虚数か、解が一意か複数かを決めるための重要な指標です。二次方程式 ax^2 + bx + c = 0 の判別式Dは次のように計算されます。
D = b^2 – 4ac
判別式Dの値により、以下のように解の個数が決まります。
- D > 0：解が2つ（異なる実数解）
- D = 0：解が1つ（重解）
- D < 0：解がない（虚数解）
2. 判別式Dとグラフの位置
判別式Dは、二次方程式の解がグラフ上でどのように位置するかを示す手掛かりにもなります。例えば、y = ax^2 + bx + c のグラフは、次のように解の個数に基づいて形状が決まります。
- D > 0の場合：グラフはx軸と2点で交わる。
- D = 0の場合：グラフはx軸と1点で接する（接点）。
- D < 0の場合：グラフはx軸と交わらない（浮いている）。
これにより、解がどのように位置するかを視覚的に理解することができます。
3. 二次不等式と解の範囲
二次不等式の解法では、判別式を利用して解の範囲を求めます。例えば、x^2 – 5x + 6 > 0という不等式を解く場合、まずはその二次方程式x^2 – 5x + 6 = 0の解を求めます。この方程式の解はx = 2, 3です。次に不等式x^2 – 5x + 6 > 0の解の範囲を決めるため、数直線上で解の位置を確認し、0より大きい部分を選びます。したがって、x < 2 または x > 3の範囲が解になります。
4. 例題解説：二次関数のx軸との共有点
質問にあるように、「二次関数 y = x^2 – mx + m + 3 の x軸との共有点の個数が定数 m の範囲によってどのように変わるか」という問題についても判別式を使って解いていきます。
まず、この関数がx軸と交わるためには、y = 0 となる解を持つ必要があります。したがって、x^2 – mx + m + 3 = 0 という方程式を解くことが必要です。この方程式における判別式Dを求め、Dの値によって共有点の個数が変わります。
判別式Dは次のように計算されます。
D = (-m)^2 – 4(1)(m + 3) = m^2 – 4m – 12
このDが0以上であるとき、グラフはx軸と交わる、すなわち共有点が存在します。D < 0のときは解なし、すなわちグラフはx軸と交わりません。
D < 0のときに共有点が0個となる条件を求めると、m^2 - 4m - 12 < 0となり、この不等式を解くと、mの範囲は-2 < m < 6となります。この範囲では、グラフがx軸と交わらないため、共有点が0個になります。
5. まとめと重要なポイント
二次方程式や二次不等式の解法には、判別式Dが非常に重要な役割を果たします。判別式Dを利用して解の個数やグラフの位置を判断する方法を理解することで、さまざまな数学の問題を解く手助けになります。また、二次不等式の解の範囲を求める際にも、解の位置や符号に注意を払いながら進めることが大切です。
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