数II・円の問題解説: (2)と(3)の解法ステップバイステップ

数IIの問題で円に関連する問題に直面することはよくありますが、今回は特に(2)と(3)の解法について焦点を当ててみます。この問題では、直線の方程式と円の方程式を解く技術が求められます。特に、直線と円の交点や直線の式を求める問題は数学の基本的な技術を身につけるうえで非常に重要です。

問題の確認: (2)と(3)の内容

この問題では、次の2つの解答を求める内容です。

これらの問題を解くためには、まず基本的な円と直線の方程式を理解していることが必要です。ここでは、それぞれの問題を順を追って解説していきます。

(2)では、与えられた直線の方程式を求める問題です。直線の方程式は、点と傾きから導き出すことができます。問題で与えられているのは、直線が通る点と傾きです。

直線の方程式は、点と傾きを使って「点-傾きの方程式」または「y = mx + b」の形で表されます。ここで、mは傾き、bは切片を示します。問題の傾きが-4/3、切片が8ですので、y = -4/3x + 8が求めるべき解となります。

(3)では、円の方程式を求める問題です。円の方程式は一般的に「x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0」の形で与えられます。ここで、D、E、Fは定数です。この問題では、与えられた式を円の一般的な形に変形することが求められます。

まず、xとyの項を整理して、円の中心と半径を求める必要があります。この手順では、平方完成を行い、円の方程式を「(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2」の形式に変換します。この変形により、円の中心(h, k)と半径rが求まります。

円の方程式を求めるためには、まず平方完成を使って整理します。例えば、x^2 + (20/3)xとy^2 + 5yをそれぞれ平方完成していきます。この操作により、円の中心と半径が明確に求められます。

円の方程式の変形が完了した後、最終的な答えとしてx^2 + y^2 – (20/3)x – 5y + 15 = 0が得られます。これが(3)の解答となります。

円と直線の方程式を解くためには、基本的な知識と手法をしっかりと理解することが大切です。特に、直線の方程式を求める際の点と傾きを使った解法、円の方程式を平方完成を使って変形する方法をしっかりとマスターしましょう。これらの方法を理解することで、類似の問題にも対応できるようになります。

数IIの問題は基本を押さえることで、応用力が高まります。今回紹介した解法を参考にして、問題を解く際の手順を確実に身につけていきましょう。