共通の接線の方程式を求める方法【曲線と円の接線】

xy座標上で、曲線y = e^xと円(x−2)^2 + y^2 = 2の共通の接線の方程式を求める問題について解説します。接線を求める方法や計算手順を段階的に説明していきますので、ぜひ参考にしてください。

問題の設定と接線の意味

問題は、曲線y = e^xと円(x−2)^2 + y^2 = 2が共通の接線を持つ点を求め、その接線の方程式を求めるというものです。接線とは、ある点において曲線と直線が1点で接する直線のことです。

接線の方程式は、一般的にy = mx + bという形で表されます。ここでmは接線の傾き、bはy切片です。接線が曲線y = e^xと円(x−2)^2 + y^2 = 2に共通であるためには、それぞれの曲線における接点での接線の傾きが一致しなければなりません。

曲線y = e^xの接線の傾きを求めるためには、y = e^xの導関数を求めます。y = e^xの微分はdy/dx = e^xです。同様に、円(x−2)^2 + y^2 = 2の接線を求めるためには、円の方程式をxとyで微分して接線の傾きを求めます。

接線が共通であるためには、曲線y = e^xと円(x−2)^2 + y^2 = 2が同じ傾きを持つ必要があります。これにより、接点でのx、yの値を求めるための方程式が得られます。

接点でのx、yの値が決まると、その接線の方程式を求めることができます。連立方程式を解くことによって、接線の方程式が得られます。計算を通じて、接線の方程式が求められることがわかります。

この問題では、曲線y = e^xと円(x−2)^2 + y^2 = 2の共通の接線の方程式を求める方法を学びました。接線の傾きを求め、接点でのx、yの値を求めることによって、共通の接線の方程式が得られます。このような問題を解くためには、微分や連立方程式の理解が必要です。