数学において、式の展開や変形は重要なスキルです。特に、(x−y)² と (y−x)² が等しいかどうかについての理解は、多くの場面で役立ちます。本記事では、この式の等価性を確認し、なぜx > yでもy > xでも成り立つのかを詳しく解説します。
式の展開
まず、(x−y)²と(y−x)²を展開してみましょう。両方の式は、二項定理を使用して展開できます。
(x−y)² = x² − 2xy + y²
(y−x)² = y² − 2xy + x²
展開後の式の比較
展開した式を見てみると、(x−y)²と(y−x)²は完全に同じ形をしています。
x² − 2xy + y² と y² − 2xy + x² は、順番が違うだけで、結局は同じ式になります。このため、(x−y)²と(y−x)²は等しいのです。
符号に関わらず等価性が成り立つ理由
次に、なぜx > yでもy > xでも、(x−y)²と(y−x)²が等しいのかを確認します。実は、(x−y)²は、xとyの差の2乗を表しています。差を2乗した場合、符号（x > y、y > x）は結果に影響を与えません。なぜなら、2乗した値は常に正またはゼロになるからです。
例えば、x = 3, y = 2の場合、(3−2)² = 1² = 1 であり、y = 2, x = 3の場合でも、(2−3)² = (−1)² = 1 です。このように、符号が逆でも結果は同じになります。
まとめ
(x−y)²と(y−x)²は、式としては異なる形に見えますが、展開後に比較すると完全に同じであることがわかります。これは、差を2乗することで符号が消えるためです。x > yでもy > xでも、これらの式は等価であり、数学的に常に成り立つことを確認できました。
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