微分積分学の問題：定積分と極限の計算方法

この問題では、与えられた定積分を求め、さらにその結果に対して極限を取るという形式です。問題は次のように与えられています。

lim[h→0⁺]∫[0,∞] 1/(1 + (h + x^2)^2) dx

1. 問題の理解と式の整理

まず、この問題の内容を整理します。問題は、h→0⁺ のときに、与えられた定積分がどうなるかを求めるものです。積分範囲は0から∞までで、積分する関数は 1/(1 + (h + x^2)^2) です。

ここで重要なのは、h が0に近づくとき、式の挙動を理解することです。

まず、定積分を計算するために、hを0にした場合の積分式を考えます。h→0 としたとき、関数は次のように簡単になります。

1/(1 + x^4)

この積分は有名な定積分で、収束することが知られています。ここでの積分結果は、定積分の結果を求める際の基盤となります。

次に、この定積分の結果に対して、h→0⁺ の極限を取ります。hが0に近づくとき、(h + x^2)^2 のhの寄与は消えるため、結果として積分関数が次のように変わります。

lim[h→0⁺] ∫[0,∞] 1/(1 + x^4) dx

この積分は具体的な値があり、収束します。

定積分と極限を組み合わせて計算した結果、最終的な値は定まります。これを求めることで、問題の解答に至ります。

この問題では、与えられた定積分の計算を行い、さらに極限を取ることで解を求めました。積分と極限を扱う問題は、収束性を確認しながら進めることが重要です。