三角関数の値を求める方法 - cosα = -12/13 のときのsinα/2, cosα/2, tanα/2

このページでは、π/2 < α < π の範囲で cosα = -12/13 が与えられた場合に、sinα/2, cosα/2, tanα/2 を求める方法を詳しく解説します。三角関数の基本的な性質を理解した上で、具体的な計算方法を紹介します。

1. 問題の設定と三角関数の基本

問題で与えられた情報は、cosα = -12/13 です。この場合、αは第2象限に位置しており、三角関数の符号について理解することが大切です。まず、sinαとcosαの関係を利用して、必要な値を求めます。

cosα = -12/13 の場合、ピタゴラスの定理を使用して sinα を求めることができます。三角形の斜辺の長さは13、隣接辺の長さは12です。したがって、直角三角形の他の辺の長さを求めます。sin²α + cos²α = 1 の式を使い、sinα の値を計算します。

sin²α = 1 – cos²α = 1 – (-12/13)² = 1 – 144/169 = 25/169

したがって、sinα = √(25/169) = 5/13 です。この値は第2象限に位置するため、sinα は正です。

次に、sinα/2 と cosα/2 を求めるためには、半角の三角関数の公式を使います。半角の公式は以下の通りです。

sin(α/2) = ±√((1 – cosα) / 2)

cos(α/2) = ±√((1 + cosα) / 2)

cosα = -12/13 を代入して、計算を行います。

sin(α/2) = √((1 – (-12/13)) / 2) = √((1 + 12/13) / 2) = √(25/26) ≈ 0.9798

cos(α/2) = √((1 + (-12/13)) / 2) = √((1 – 12/13) / 2) = √(1/26) ≈ 0.1962

tanα/2 を求めるためには、tan(α/2) = sin(α/2) / cos(α/2) の公式を使用します。

tan(α/2) = 0.9798 / 0.1962 ≈ 5.0

cosα = -12/13 の場合、次のように求めることができます。

これらの値は、三角関数の半角公式を使って計算しました。公式の理解を深めることで、よりスムーズに計算ができるようになります。