∫xsinxcosxdxの積分方法と解法について

積分の問題の中で、∫sinxcosxdxのような積分はよく見かけますが、∫xsinxcosxdxのような複雑な積分では少し工夫が必要です。この記事では、∫xsinxcosxdxの積分方法を解説し、その結果を導出します。

∫xsinxcosxdxの解法の基本

∫xsinxcosxdxのような積分は、まず積分の公式や積分テクニックを用いることで解くことができます。最初に注意すべきは、sinxcosxという積が含まれている点です。このような積を積分する際、まずは式を簡単にするために公式を使うのが一般的です。

sinxcosxは二重角の公式を使って簡単に表現できます。すなわち、sinxcosx = (1/2)sin(2x)となります。これにより、積分を簡単にすることができます。

∫xsinxcosxdxの積分には部分積分法を使用するのが有効です。部分積分法は、積分の積を2つの部分に分けて計算する方法です。部分積分法の公式は次のように表されます。

∫u dv = uv – ∫v du

ここで、uとvは積の二つの部分で、uを微分し、dvを積分することによって積分を計算します。この方法を使って、∫xsinxcosxdxを解くことができます。

まず、部分積分法を使うために積分を二つの部分に分けます。ここでは、u = xと設定し、dv = sinxcosxdxと設定します。

次に、u = xに対してdu = dxとなり、dv = sinxcosxdxを二重角の公式を使って簡単に積分します。すると、次のようになります。

∫xsinxcosxdx = (1/2) xsin(2x) – ∫(1/2) sin(2x) dx

このように部分積分法を使って積分することができます。

∫xsinxcosxdxの積分は、部分積分法と二重角の公式を組み合わせることで解くことができます。この方法を使うことで、複雑な積分も効率よく解くことができ、数学の問題をスムーズに解決できます。積分のテクニックをうまく使いこなすことが、数学の理解を深めるために重要です。