sinα = 4/5, cosβ = 5/13のときの三角関数の求め方

この問題では、角αとβについて与えられた条件をもとに、いくつかの三角関数を求める方法を解説します。特に、cosα、sin(α + β)、cos(α + β)を求める問題です。

問題の条件

まず、与えられた条件を整理します。

ここから、cosα、sin(α + β)、cos(α + β)を求める必要があります。

まず、sinαが与えられているので、cosαを求めるために三角関数の基本的な恒等式を使用します。

恒等式は次の通りです。

sin²α + cos²α = 1

sinα = 4/5なので、sin²α = (4/5)² = 16/25です。この値を恒等式に代入して、cos²αを求めます。

16/25 + cos²α = 1

cos²α = 1 – 16/25 = 25/25 – 16/25 = 9/25

したがって、cosα = √(9/25) = 3/5 となります。

次に、sin(α + β)を求めます。加法定理を使います。

sin(α + β) = sinα * cosβ + cosα * sinβ

すでにsinα = 4/5、cosβ = 5/13は与えられていますが、sinβを求める必要があります。これも三角関数の恒等式を使って求めます。

cosβ = 5/13なので、cos²β = (5/13)² = 25/169です。

sin²β = 1 – cos²β = 1 – 25/169 = 144/169

したがって、sinβ = √(144/169) = 12/13 となります。

これで、sin(α + β)を計算できます。

sin(α + β) = (4/5) * (5/13) + (3/5) * (12/13) = 20/65 + 36/65 = 56/65

したがって、sin(α + β) = 56/65 となります。

次に、cos(α + β)を求めます。こちらも加法定理を使用します。

cos(α + β) = cosα * cosβ - sinα * sinβ

cosα = 3/5、cosβ = 5/13、sinα = 4/5、sinβ = 12/13はすでに求めましたので、それらを代入して計算します。

cos(α + β) = (3/5) * (5/13) - (4/5) * (12/13) = 15/65 - 48/65 = -33/65

したがって、cos(α + β) = -33/65 となります。

この問題では、sinαとcosβの値が与えられた場合に、三角関数の恒等式と加法定理を使ってcosα、sin(α + β)、cos(α + β)を求めました。それぞれの計算手順をしっかりと理解することで、類似の三角関数の問題に対応できるようになります。