質問で示された式「√3sinx – cosx = 1」を合成して、「2sin(x + 11π/6) = 1」とした場合の正しさについて、少し混乱が生じているようです。実際には、この式を合成すると、正しい結果は「2sin(x – π/6) = 1」になります。この記事では、合成の過程とその理由を詳しく解説します。
与えられた式の合成
まず、問題の式「√3sinx – cosx = 1」を合成する方法について考えます。合成とは、三角関数の和を一つの三角関数にまとめる手法です。この式は、実は以下のように考えることができます。
√3sinx – cosx を「Rsin(x + α)」の形に変換することができます。この形式にするために、Rとαを求める必要があります。具体的には、以下の式に基づきます。
R = √(√3^2 + (-1)^2) = 2
そして、αを求めるには、tanα = -1/√3 となります。これから、α = -π/6 と求めることができます。
合成後の式
したがって、√3sinx – cosx は、次のように合成できます。
2sin(x – π/6) = 1
ここで、元の式をこの形に合成することができたので、問題で示された「2sin(x + 11π/6) = 1」という式は間違いであることがわかります。なぜなら、合成後の式は「2sin(x – π/6) = 1」であり、+11π/6 ではなく、-π/6が正しい結果だからです。
合成のポイントと注意点
合成の際には、三角関数の係数を基にRとαを求める必要があり、このプロセスが重要です。通常、式の形を「Rsin(x + α)」に変換するためには、まずRを求め、次にαを計算することで、元の三角関数の形を整理できます。この方法により、合成後の式が簡単に求められます。
また、合成の際に+11π/6を使う理由はなく、三角関数の周期性から-π/6でも同じ解になるため、注意が必要です。
まとめ
式「√3sinx – cosx = 1」を合成すると、正しい結果は「2sin(x – π/6) = 1」です。質問で示された「2sin(x + 11π/6) = 1」は誤りであり、合成の過程で得られる正しい角度は-π/6であることを確認しました。三角関数の合成では、適切な係数を使って正確にαを求め、式を簡単にまとめることが大切です。
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