△ABCの三角形において、辺の長さがa=9、b=8、c=5であるとき、以下の値を求める問題について解説します。これらの値は、三角関数、面積公式、外接円と内接円の半径を使って求めることができます。具体的な解法をステップごとに解説していきます。
(1) cosAの求め方
三角形ABCの角Aの余弦（cosA）は、余弦定理を使用して求めることができます。余弦定理は次の式で表されます。
cosA = (b² + c² – a²) / (2bc)
ここで、a = 9、b = 8、c = 5を代入して計算します。
cosA = (8² + 5² – 9²) / (2 × 8 × 5) = (64 + 25 – 81) / 80 = 8 / 80 = 0.1
したがって、cosA = 0.1です。
(2) △ABCの面積Sの求め方
△ABCの面積Sは、ヘロンの公式を使用して求めることができます。ヘロンの公式では、三角形の3辺a、b、cの長さが分かっていれば、面積Sは次の式で求められます。
S = √(s(s – a)(s – b)(s – c))
ここで、sは三角形の半周長で、次の式で求めます。
s = (a + b + c) / 2 = (9 + 8 + 5) / 2 = 11
これをヘロンの公式に代入して計算します。
S = √(11(11 – 9)(11 – 8)(11 – 5)) = √(11 × 2 × 3 × 6) = √396 = 19.9
したがって、△ABCの面積Sは約19.9平方単位です。
(3) △ABCの外接円の半径Rの求め方
△ABCの外接円の半径Rは、次の公式を使って求めることができます。
R = (abc) / (4S)
ここで、a = 9、b = 8、c = 5、S = 19.9（先ほど求めた面積）を代入して計算します。
R = (9 × 8 × 5) / (4 × 19.9) = 360 / 79.6 ≈ 4.52
したがって、外接円の半径Rは約4.52です。
(4) △ABCの内接円の半径rの求め方
△ABCの内接円の半径rは、次の公式を使って求めることができます。
r = S / s
ここで、S = 19.9（面積）、s = 11（半周長）を代入して計算します。
r = 19.9 / 11 ≈ 1.81
したがって、内接円の半径rは約1.81です。
まとめ
△ABCの三角形について、与えられた辺の長さa=9、b=8、c=5を使って、以下の値を求めました。
- cosA ≈ 0.1
- 面積S ≈ 19.9平方単位
- 外接円の半径R ≈ 4.52
- 内接円の半径r ≈ 1.81
これらの値は、三角関数やヘロンの公式、外接円および内接円の公式を使用することで求めることができました。理解を深めるためには、公式をしっかりと覚え、実際の問題に応用していくことが重要です。
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